inne sposoby

[lordbross]

Dany jest trapez o podstawach a i b opisany na okręgu o promieniu c. Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ 4 \cdot c ^{2} \le a \cdot b}\)

Udowodniłem to trygonometrycznie, ale interesują mnie jakieś inne sposoby na ten dowód ?
Ma ktoś jakiś pomysł ?

[Ania221]

Ponieważ wszystkie wielkości są dodatnie, to można powiedzić, że \(\displaystyle{ h \le \sqrt{ab}}\)

[lordbross]

Dzięki, nie zauważyłem tej własności.

[Ponewor]

Ponieważ wszystkie wielkości są dodatnie, to można powiedzić, że \(\displaystyle{ h \le \sqrt{ab}}\)

Czy poza tym masz jakiś pomysł jak tego dowieść? Bo samo przekształcenie wydaje się mało użyteczne.

Przy okazji: \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) jest długością odcinka dzielącego wyjściowy trapez na dwa trapezy do siebie podobne.

[Ania221]

Mam pomysł, ale nie udało mi się doprowadzić go do końca...tzn wykazać jednoznacznie nierówności.
Kiedyś dowodziłam tego dla równości\(\displaystyle{ h = \sqrt{ab}}\), ale to było w trapezie równoramiennym, o ile dobrze pamiętam.

W trapezie równoramiennym, \(\displaystyle{ d}\) - ramię trapezu

\(\displaystyle{ h^2=d^2-( \frac{a-b}{2})^2= ( \frac{a+b}{2})^2-( \frac{a-b}{2})^2=ab}\)

W tym dowolnym trapezie, \(\displaystyle{ d,e}\)ramiona trapezu, \(\displaystyle{ x,y}\)odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy

\(\displaystyle{ x+y=a-b}\)
\(\displaystyle{ d+e=a+b}\)
\(\displaystyle{ h^2=d^2-x^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=e^2-y^2}\)
\(\displaystyle{ 2h^2=(a+b)^2-2ed-(a-b)^2+2xy=4ab+2xy-2ed}\)
no i nie wiem, co dalej?

[norwimaj]

Niech to będzie trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), o podstawach \(\displaystyle{ AB=a}\), \(\displaystyle{ CD=b}\). Niech środkiem okręgu wpisanego będzie \(\displaystyle{ O}\). Ponadto niech odległości punktów \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) od punktów styczności z okręgiem wpisanym będą równe odpowiednio: \(\displaystyle{ a_1,a_2,b_2,b_1}\).

Dowód przebiega w dwóch prostych krokach. Najpierw korzystając z nierówności o średnich stwierdzamy, że

\(\displaystyle{ a\ge 2\sqrt{a_1a_2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ b\ge 2\sqrt{b_1b_2}.}\)

Następnie zauważamy, że trójkąt \(\displaystyle{ AOD}\) jest prostokątny, a jego wysokość poprowadzona z punktu \(\displaystyle{ O}\) ma długość \(\displaystyle{ c}\) i dzieli odcinek \(\displaystyle{ AD}\) na odcinki długości \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ b_1}\). Z własności trójkąta prostokątnego wynika więc równość

\(\displaystyle{ \sqrt{a_1b_1}=c.}\)

Analogicznie dowodzimy, że

\(\displaystyle{ \sqrt{a_2b_2}=c.}\)

Po złożeniu otrzymanych równości i nierówności w jedną nierówność otrzymujemy tezę zadania.