Dany jest trapez o podstawach a i b opisany na okręgu o promieniu c. Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 4 \cdot c ^{2} \le a \cdot b}\)
Udowodniłem to trygonometrycznie, ale interesują mnie jakieś inne sposoby na ten dowód ?
Ma ktoś jakiś pomysł ?
inne sposoby
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
inne sposoby
Czy poza tym masz jakiś pomysł jak tego dowieść? Bo samo przekształcenie wydaje się mało użyteczne.Ania221 pisze:Ponieważ wszystkie wielkości są dodatnie, to można powiedzić, że \(\displaystyle{ h \le \sqrt{ab}}\)
Przy okazji: \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\) jest długością odcinka dzielącego wyjściowy trapez na dwa trapezy do siebie podobne.
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
inne sposoby
Mam pomysł, ale nie udało mi się doprowadzić go do końca...tzn wykazać jednoznacznie nierówności.
Kiedyś dowodziłam tego dla równości\(\displaystyle{ h = \sqrt{ab}}\), ale to było w trapezie równoramiennym, o ile dobrze pamiętam.
W trapezie równoramiennym, \(\displaystyle{ d}\) - ramię trapezu
\(\displaystyle{ h^2=d^2-( \frac{a-b}{2})^2= ( \frac{a+b}{2})^2-( \frac{a-b}{2})^2=ab}\)
W tym dowolnym trapezie, \(\displaystyle{ d,e}\)ramiona trapezu, \(\displaystyle{ x,y}\)odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy
\(\displaystyle{ x+y=a-b}\)
\(\displaystyle{ d+e=a+b}\)
\(\displaystyle{ h^2=d^2-x^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=e^2-y^2}\)
\(\displaystyle{ 2h^2=(a+b)^2-2ed-(a-b)^2+2xy=4ab+2xy-2ed}\)
no i nie wiem, co dalej?
Kiedyś dowodziłam tego dla równości\(\displaystyle{ h = \sqrt{ab}}\), ale to było w trapezie równoramiennym, o ile dobrze pamiętam.
W trapezie równoramiennym, \(\displaystyle{ d}\) - ramię trapezu
\(\displaystyle{ h^2=d^2-( \frac{a-b}{2})^2= ( \frac{a+b}{2})^2-( \frac{a-b}{2})^2=ab}\)
W tym dowolnym trapezie, \(\displaystyle{ d,e}\)ramiona trapezu, \(\displaystyle{ x,y}\)odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy
\(\displaystyle{ x+y=a-b}\)
\(\displaystyle{ d+e=a+b}\)
\(\displaystyle{ h^2=d^2-x^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=e^2-y^2}\)
\(\displaystyle{ 2h^2=(a+b)^2-2ed-(a-b)^2+2xy=4ab+2xy-2ed}\)
no i nie wiem, co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
inne sposoby
Niech to będzie trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), o podstawach \(\displaystyle{ AB=a}\), \(\displaystyle{ CD=b}\). Niech środkiem okręgu wpisanego będzie \(\displaystyle{ O}\). Ponadto niech odległości punktów \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) od punktów styczności z okręgiem wpisanym będą równe odpowiednio: \(\displaystyle{ a_1,a_2,b_2,b_1}\).
Dowód przebiega w dwóch prostych krokach. Najpierw korzystając z nierówności o średnich stwierdzamy, że
\(\displaystyle{ a\ge 2\sqrt{a_1a_2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ b\ge 2\sqrt{b_1b_2}.}\)
Następnie zauważamy, że trójkąt \(\displaystyle{ AOD}\) jest prostokątny, a jego wysokość poprowadzona z punktu \(\displaystyle{ O}\) ma długość \(\displaystyle{ c}\) i dzieli odcinek \(\displaystyle{ AD}\) na odcinki długości \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ b_1}\). Z własności trójkąta prostokątnego wynika więc równość
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1b_1}=c.}\)
Analogicznie dowodzimy, że
\(\displaystyle{ \sqrt{a_2b_2}=c.}\)
Po złożeniu otrzymanych równości i nierówności w jedną nierówność otrzymujemy tezę zadania.
Dowód przebiega w dwóch prostych krokach. Najpierw korzystając z nierówności o średnich stwierdzamy, że
\(\displaystyle{ a\ge 2\sqrt{a_1a_2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ b\ge 2\sqrt{b_1b_2}.}\)
Następnie zauważamy, że trójkąt \(\displaystyle{ AOD}\) jest prostokątny, a jego wysokość poprowadzona z punktu \(\displaystyle{ O}\) ma długość \(\displaystyle{ c}\) i dzieli odcinek \(\displaystyle{ AD}\) na odcinki długości \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ b_1}\). Z własności trójkąta prostokątnego wynika więc równość
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1b_1}=c.}\)
Analogicznie dowodzimy, że
\(\displaystyle{ \sqrt{a_2b_2}=c.}\)
Po złożeniu otrzymanych równości i nierówności w jedną nierówność otrzymujemy tezę zadania.