Promień okręgu wpisanego w deltoid.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Belv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy

Promień okręgu wpisanego w deltoid.

Post autor: Belv »

Mam takie pytanie do zadania..
Oblicz pole koła wpisanego w deltoid o polu \(\displaystyle{ 42cm ^{2}}\), którego obwód jest równy \(\displaystyle{ 28cm}\).

Spotkałem się z wykorzystaniem w tym zadaniu wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt, czyli: \(\displaystyle{ r= \frac{P _{troj} }{p _{ \frac{1}{2} Obw} }}\)

Moje pytanie brzmi: Czy w innych figurach poza trójkątem można używać tego wzoru,a może w jakiś przypadkach mogę? Czy tylko w deltoidzie są jakoś połączone te dwa trójkąty równoramienne, że można wykorzystać ten wzór?
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Promień okręgu wpisanego w deltoid.

Post autor: kropka+ »

W wielokąt można wpisać okrąg, gdy dwusieczne jego wszystkich kątów przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt to środek okręgu wpisanego. Dwusieczne dzielą wielokąt na trójkąty o jednakowych wysokościach poprowadzonych ze środka okręgu i równych jego promieniowi. Pole wielokąta to oczywiście suma pół tych trójkątów. Stąd

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{O}}\)

\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu wpisanego w wielokąt
\(\displaystyle{ P}\) - pole wielokąta
\(\displaystyle{ O}\) - obwód wielokąta

W deltoidzie mamy cztery trójkąty parami przystające, więc jego pole to \(\displaystyle{ (a+b)r}\). Obwód to \(\displaystyle{ 2(a+b)}\). Stąd \(\displaystyle{ \frac{P}{O}= \frac{r}{2} \Rightarrow r= \frac{2P}{O}}\), czyli oczywiście dostaliśmy ten sam wzór co wyżej.
ODPOWIEDZ