Wierzchołki trójkąta prostokątnego w n-kącie foremnym

[Espeqer]

Otóż moje pytanie brzmi następująco:

Na ile sposobów można wybrać trzy wierzchołki 14-kąta foremnego by były one wierzchołkami trójkąta prostokątnego?

Zrobiłem to łopatologicznie i po wypisaniu możliwości wyszło mi, że na 84 sposoby.

Tylko teraz mam pytanie, jak zrobić to normalnie i jak zrobić to analogicznie dla innych wielokątów foremnych np. 12-kąta?

Przy wyborze 3 dowolnych wierzchołków z 14 wychodzi, że można zrobić to na 364 sposoby. Ale teraz nie wiem, jakie warunki dodatkowo trzeba przyjąć, aby otrzymać te 84 sposoby.

Z góry dziękuję za pomoc.

[gus]

Można opisać okrąg na tym wielokącie i poszukać kątów opartych na średnicy. Wtedy też wyjdzie \(\displaystyle{ 7 \cdot 12=84}\) trójkątów.

[Espeqer]

Hmm, dalej nie rozumiem. Rozrysowałem to sobie, tak jak to powiedziałeś Gus, ale nic konkretnego nie widzę.

-- 2 mar 2014, o 21:00 --

Czy mógłbym prosić o rysunek? Bo dalej Twojej metody nie rozumiem.

[kropka+]

Ile średnic możesz narysować w czternastokącie?

[gus]

W każdym wielokącie foremnym o parzystej liczbie boków istnieje para wierzchołków leżących naprzeciwko siebie, które tworzą średnicę okręgu opisanego na tej figurze. W np. kwadracie są to wierzchołki A i C oraz B i D. W sześciokącie foremnym są to wierzchołki A i D, B i E, C i F (nazywając wierzchołki po kolei).
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu ma miarę 90 stopni.

W 14-kącie foremnym jest siedem średnic okręgu opisanego. Każdą z nich można połączyć z 12 pozostałymi wierzchołkami (które nie wchodzą w skład tej średnicy). Czyli liczba trójkątów prostokątnych to \(\displaystyle{ 7 \cdot 12=84}\) (liczba średnic razy liczba trójkątów na jedną średnicę).

Twierdzenie można uogólnić tak:

Dla każdęgo n-kąta foremnego, gdzie n jest liczbą parzystą, liczba trójkątów prostokątnych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami wielokąta, to \(\displaystyle{ (n-2) \cdot \frac{n}{2}}\)

[Espeqer]

Dziękuję, wreszcie to zrozumiałem.

I wpadłem też na takie coś. Dziele sobię ten 14-kąt na prostokąty (każdy inny). Wyszło mi, że są 3 takie różne prostokąty. Teraz tych różnych prostokątów będzie w sumie (każdy inny wychodzący z wierzchołków po kolei) 14+14+14=3*14=42. Każdy z tych prostokątów będzie zawierał 2 trójkąty prostokątne z trzema różnie wybranymi wierzchołkami. Więc trójkątów będzie: 42*2=84.

Można też w ten sposób?

[gus]

Nie do końca. Z każdego wierzchołka wychodzi 12 prostokątów...

[kropka+]

Raczej jest po siedem niepokrywających się prostokątów (bo np. prostokąt pierwszy pokrywa się z ósmym, drugi z dziewiątym, itd), z których każdy zawiera cztery trójkąty prostokątne (bo ma dwie przekątne). Stąd \(\displaystyle{ 3 \cdot 7 \cdot 4=84}\)