Dwa okręgi zewnętrznie styczne o różnych promieniach

[RoseMarine]

Witam,
Męczę się z pewnym zadaniem, którego rozwiązanie jest zawarte w odpowiedziach książki, jednak nie potrafię dojść do takiej samej drogi myślenia.

Treść zadania:
Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne o różnych promieniach. Poprowadzono dwie wspólne styczne k i l do tych okręgów ( okręgi znajdują się po jednej stronie każdej ze stycznych), które przecięły się pod kątem \(\displaystyle{ 2\alpha}\) . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

[pyzol]

Prostą k, przesuń równolegle do środka mniejszego okręgu. Otrzymasz wtedy nowy trójkąt, w którym \(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{R-r}{R+r}}\)

[RoseMarine]

do tego samego równania doszedłem, ale nie to wciąż nie jest stosunek R/r, a z przekształceń z tego równania nic nie wyniknie jeśli się nie mylę.

[pyzol]

No to się mylisz.
Pozbądź się mianownika, następnie \(\displaystyle{ R}\) na lewą, \(\displaystyle{ r}\) na prawą. Następnie wyciągnij \(\displaystyle{ r,R}\) przed nawias.