Błąd w rozwiązaniu (okrąg, kąty)

[rekamil97]

Mam takie zadanie:

W trójkącie ABC wpisanym w okrąg kąt ABC jest równy 50stopni. Wyznacz pozostałe kąty trójkąta ABC, wiedząc, że długości łuków AB i BC pozostają w stosunku 2:3.

Rysunek:



Rozwiązanie to: 78 stopni i 52 stopnie. Znalazłem rozwiązanie na układ równań. W nim przy wierzchołku A - kąt alfa, przy B - kąt beta. Następnie wyliczony stosunek długości okręgu ze wzoru:

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} = \frac{ \frac{ \alpha }{360} \cdot 2 \pi r }{ \frac{ \beta }{360} \cdot 2 \pi r }}\)

Następnie drugie równanie:

\(\displaystyle{ \alpha + \beta =180-50}\)

Co najgorsze wynik z tych dwóch układów wychodzi poprawny jednak jest jeden kategoryczny błąd w pierwszym równaniu:

nie można powiedzieć że \(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \alpha }{360} \cdot 2 \pi r }{ \frac{ \beta }{360} \cdot 2 \pi r }}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) bo kąty alfa i beta nie są wpisane (tylko z wpisanych kątów możemy liczyć stosunek długości łuków).

Dlaczego wynik wychodzi poprawny chociaż kąty alfa i beta nie są wpisane (nie można z nich liczyć żadnego stosunku łuków!!!!) ??

[kropka+]

W Twoim pierwszym równaniu powinno być \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) i \(\displaystyle{ 2 \beta}\), bo kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. Nie ma to wpływu na wynik, bo w tym równaniu te dwójki skracają się.

[Ania221]

Jeżeli w zadaniu (jakimkolwiek) jest podany stosunek odcinków, łuków, pól, to warto wprowadzić \(\displaystyle{ x}\)
Np. w tym przypadku, skoro długości łuków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) pozostają w stosunku \(\displaystyle{ 2:3}\) to na łuku \(\displaystyle{ AB}\) wpisuję \(\displaystyle{ 2x}\), a na łuku \(\displaystyle{ BC}\) wpisuję \(\displaystyle{ 3x}\)
I od razu wpisuję kąty, łukowi \(\displaystyle{ AB}\) odpowiada kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\), a łukowi \(\displaystyle{ BC}\) odpowiada kąt \(\displaystyle{ 3\alpha}\)
Mam 1 równanie
\(\displaystyle{ 50 +5\alpha=180}\)

[rekamil97]

Dobrze ale gdzie jest ten kąt? Przecież odcinek BC nie jest średnicą więc nic nam z kątów? Możecie to wytłumaczyć?

[kropka+]

Średnica tu nie ma nic do rzeczy. Tu chodzi o kąty wpisane i środkowe. Narysuj np. kąt środkowy \(\displaystyle{ AOB}\). On jest dwa razy większy od kąta wpisanego \(\displaystyle{ ACB}\), bo są oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ AB}\). A teraz przeczytaj jeszcze raz mój poprzedni post.