Twierdzenie o siecznej dla punktu w środku okręgu

[realityoppa]

Czy mógłby mi ktoś udowodnić że dla punktu \(\displaystyle{ P}\) znajdującego się w wewnątrz okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\), i cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ |PA| \cdot |PB|=\big| |OP|^{2} - r^{2}\big|}\)

[Ania221]

Narysuj sieczną zawierającą \(\displaystyle{ PO}\)
I zastosuj twierdzenie o 2 siecznych.

[kruszewski]

Dowód jest łatwy.
To fragment z mojej skromnej pracy pt."Twierdzenie Ptolemeusza inaczej" (nie publikowanej).
W.Kr.

[bakala12]

Najlepiej będzie zrobić tak:
1. Narysuj cięciwę \(\displaystyle{ CD}\) prostopadłą do \(\displaystyle{ PO}\) (tzn. taką że \(\displaystyle{ P}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ CD}\)).
2. Skorzystaj z wersji podanej przez kruszewski.
3. Twierdzenie Pitagorasa i koniec.

[Ania221]

Ale twierdzenie Ptolemeusza to jest właściwie twierdzenie o 2 siecznych.
Moja proponowana sieczna zawierająca \(\displaystyle{ PO}\) składa sie z 3 odcinków:
\(\displaystyle{ PO}\) , \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ r-PO}\)

\(\displaystyle{ \left|PA \right| \cdot \left| PB\right| =(r-PO)(r+PO)}\)

[kruszewski]

Ale podobieństwo trójkątów w czworoboku wpisanym nie jest wynikiem tw.Ptolemeusza.
A że z pracki o tym twierdzeniu, to tylko z samochwalstwa napisałem.
Pozdrawiam,
W.Kr.