Patrząc na zadanie nr 38 ze zbioru Pompego, nie sposób nie odnieść wrażenia, że jest ono ułożone pod tę właśnie ciekawostkę geometryczną.
Jeśli przedłlużymy prostą \(\displaystyle{ BQ}\), to uzyskamy punkt \(\displaystyle{ F}\) i w efekcie \(\displaystyle{ \triangle BCF}\).
Punkty \(\displaystyle{ Q,\ D,\ i \ E}\) są właśnie rzutami punktu \(\displaystyle{ J}\) na boki tego trójkąta.
Jeśli okrąg opisany na tym trójkącie nazwiemy \(\displaystyle{ o_{1}}\),
to pozostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ J \in o_{1}}\).
Dowód:
1. \(\displaystyle{ \left| BD\right|=\left| BE'\right| \ i \ \left| FE \right|=\left| BE'\right| \Rightarrow \left| \left| BD \right| \right|=\left| FE \right|}\)
2. \(\displaystyle{ \left| DJ\right|=\left| EJ\right|\ i \ \angle BDJ = \angle FEJ \ =90^{\circ} \Rightarrow \triangle FEJ \equiv \triangle BDJ}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \angle EJF= \angle DJB \Rightarrow \angle FJB= \angle EJD}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \angle FCB= \angle EJD \Rightarrow \angle FJB= \angle FCB}\)
3. \(\displaystyle{ \angle FJB \ i \ \angle FCB}\) - wpisane w okrąg \(\displaystyle{ o_{1}}\) , oparte na łuku \(\displaystyle{ BF\ \Rightarrow J \in o_{1}}\) cnd.
No i teraz zastanawiam się, po co ta cała szopka z prostą Simpsona, skoro dowód na współliniowość tych punktów można przeprowadzić krócej, bez jej pomocy.
Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ QE \ \perp \ JC}\) - nie zaznaczona na załaczonym szkicu.
Dowód na to jest krótszy i prostszy.
Mam wrażenie, że zastosowanie prawa Simpsona w praktyce naukowej jak i inżynierskiej jest mniej więcej takie, jak Okręgów Apolloniusza. Są, bo ktoś je kiedyś wymyślił. Rozwiązania z nimi wyglądają fajnie, szczególnie gdy chce się zabłysnąć przed uczniami lub niewtajemniczonymi słuchaczami. Praktycy nauki zapytani o nie, uśmiechną się i odpowiedzą, że zapomnieli już co to jest.