Pompe 150 Jednokładność

[realityoppa]

Dałby ktoś jakąś wskazówkę do zadania 150 z

Kod: Zaznacz cały

http://matma.ilo.pl/images/pompe.pdf

Kompletnie nie wiem jak zacząć

[tomkoder]

Nie wiem czy będzie pomocne, ale te wszytkie trójkąty są do siebie podobne.

Może okreslić pole \(\displaystyle{ P_{ABC}}\) jako pole \(\displaystyle{ P_{ABPQ} + P_{PQC}}\), przy czym pola trójkątów wyznaczyć za pomoca promienia okregu wpisanego w te trójkąty a pole trapezu długim wzorem wykorzystujacym tylko długości boków stąd:


Wtedy wyrazisz promień okręgu \(\displaystyle{ r_1}\) wpisanego w \(\displaystyle{ PQC}\) za pomoca promienia \(\displaystyle{ R}\) wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\).

Nastepnie powtórzyć to dla pozostałych dwóch par trapez-trójkąt wyliczając \(\displaystyle{ r_2}\) oraz \(\displaystyle{ r_3}\).

Wtedy po zsumowaniu tych długości małych promieni powinno wyjść że są równe dużemu \(\displaystyle{ (r_1+r_2+r_3=R)}\)... (jeśli to prawda )

Ale to chyba obliczeniowo przerąbane, musi chodzić o jakiś inny sposób chyba.

[bakala12]

Wskazówka:
Oblicz obwód trójkąta \(\displaystyle{ AKL}\) i pozostałych. Zobacz że wszystkie trójkąty na rysunku są podobne. Ułóż proporcje z obwodami i promieniami okręgów wpisanych.

[tomkoder]

A ja wpadłem jeszcze na inny pomysł ale już po wyłączeniu kompa

Skoro te trójkąty są podobne to jeśli
\(\displaystyle{ R}\) to promień okręgu w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ r_1}\) to promień okręgu w trójkącie \(\displaystyle{ MNB}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{r_1}{R} = \frac{MB}{AB}}\) wyznaczamy z tego \(\displaystyle{ r_1}\)
analogicznie dla promieni \(\displaystyle{ r_2}\) i \(\displaystyle{ r_3}\)

wtedy
suma tych promieni będzie równa \(\displaystyle{ R ( \frac{?}{?} + \frac{?}{?} + \frac{?}{?} )}\) a jak się przyjrzysz to z podobieństwa wyjdzie każdy z tych \(\displaystyle{ \frac{?}{?}}\) będzie miał równą wartość

Dojdziesz więc do sytuacji gdzie wystarczy udowodnić że \(\displaystyle{ \frac{MB}{AB}= \frac{1}{3}}\)

No i tu zaczyna się zonk - wieczorem wymyśliłem jak to udowodnić ale teraz nie do końca jestem pewien czy to prawda

[Htorb]

Wystarczy udowodnić, ze \(\displaystyle{ QK=NM}\)

[Ania221]

Jeżeli przedłużysz proste \(\displaystyle{ KL}\) , \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) to otrzymasz trójkąt jednokładny do \(\displaystyle{ ABC}\) w skali \(\displaystyle{ 1:1}\) i o środku jedn w środku dużego okręgu.
Odcinki \(\displaystyle{ QP}\) i \(\displaystyle{ LM}\) są też jednokładne wiec \(\displaystyle{ QP=LM}\)

Trójkąty \(\displaystyle{ BMN}\) , \(\displaystyle{ CQP}\) i \(\displaystyle{ AKL}\) są odpowiednio podobne do \(\displaystyle{ ABC}\) w skali \(\displaystyle{ m= \frac{AL}{AB}}\) , \(\displaystyle{ n=\frac{BM}{AB}}\) i \(\displaystyle{ k=\frac{LM}{AB}}\)
Wyznaczamy pola i obwody małych trójkątów \(\displaystyle{ P_1}\) \(\displaystyle{ P_2}\) \(\displaystyle{ P_3}\) \(\displaystyle{ O_1}\) \(\displaystyle{ O_2}\) \(\displaystyle{ O_3}\) w stosunku do \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ O}\) wykorzystując skale podobieństwa \(\displaystyle{ m,n,k}\)

Ze wzoru \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(O)}\) wyznaczamy odpowiednio \(\displaystyle{ R}\) , \(\displaystyle{ r_1}\) ,\(\displaystyle{ r_2}\) i \(\displaystyle{ r_3}\)
Oraz wyliczamy sumę małych promieni

[Htorb]

W tym zadaniu nie trzeba żadnych pól \(\displaystyle{ \frac{r_1}{r}+ \frac{r_2}{r}+ \frac{r_3}{r}= \frac{CQ}{CA} +\frac{AK}{CA}+ \frac{NM}{CA}=\frac{CQ}{CA} +\frac{AK}{CA}+ \frac{QK}{CA}= \frac{CA}{CA}=1}\)