Środkowy punkt należący do łuku

[zbigniew48]

Witam, potrzebuję wyznaczyć współrzędne środkowego punktu należącego do łuku o dowolnym kącie. Na rysunku C i D to właśnie te środki.

AU

U5sRTV8.png (6.7 KiB) Przejrzano 280 razy

Powiedzmy że mamy punkt A(0;10) i B(0;-10). Tworzę łuk od A do B o kącie 180° i otrzymuję górny półokrąg, więc to akurat nie problem. Ale co w przypadku gdy mam inny kąt?

Dodatkowo, jak sprawdzić czy punkt należy do tego łuku?

Pozdrawiam

[Ania221]

\(\displaystyle{ O_1}\) środek okręgu z punktem \(\displaystyle{ C}\).
\(\displaystyle{ O_2}\) środek okręgu z punktem \(\displaystyle{ D}\)
Prosta \(\displaystyle{ CD}\) jest prostopadła do odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i przecina go w środku
Znamy równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ O_1}\)
Wyznaczamy równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\)
Wyznaczamy równanie prostej \(\displaystyle{ CD}\)
Z układu równań okręgu \(\displaystyle{ O_1}\) i prostej \(\displaystyle{ CD}\) wyznaczamy współrzędne punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ O_2}\)
\(\displaystyle{ O_2B}\) to promień drugiego okręgu, przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
Wyznaczamy jego równanie.
Z układu równań wyznaczamy punkt \(\displaystyle{ C}\)

[tomkoder]

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu na którym leżą punkt \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i środku w \(\displaystyle{ O}\)
\(\displaystyle{ a}\) - długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) czyli cięciwy okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) - dany kąt wycinka
\(\displaystyle{ D}\) - punkt przecięcia \(\displaystyle{ AB}\) i promienia \(\displaystyle{ r}\) ze środka okręgu do punktu \(\displaystyle{ C}\) (czyli \(\displaystyle{ AD= \frac{1}{2} AB}\))
\(\displaystyle{ x}\) - odległość między środkiem okręgu o środku w \(\displaystyle{ O}\) a punktem \(\displaystyle{ D}\)

Rysunek poglądowy:


\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \frac{1}{2} a}{r} \Rightarrow r= \frac{a}{2\sin \frac{ \alpha }{2} }}\)

\(\displaystyle{ \cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{x}{r} \Rightarrow x= r \cos \frac{ \alpha }{2}}\)

\(\displaystyle{ y=r-x}\)

współrzędna x-owa punktu C to \(\displaystyle{ x_C=x_A+ \frac{1}{2}a}\)
współrzędna y-owa punktu C to \(\displaystyle{ y_C=y_A+ y}\)

*************

Taaa, poniewczasie zorientowałem się że nie uwzględniłem że to w układzie w współrzędnych.

To powyższe zadziała tylko jeśli AB będzie równoległy do \(\displaystyle{ OX}\)
Trzeba inaczej wyliczyć pkt. C

[zbigniew48]

Dziękuję bardzo za odpowiedzi, jednak nie są one tym o co mi chodziło. Przepraszam, być może dlatego że było późno i niejasno opisałem sprawę. Mam dane punkty A, B, kąt (chyba jest to kąt końcowy, przy kącie początkowym = 0 ) oraz kierunek (a raczej kolejność wykonywania działań w nieco prymitywnym pod tym względem programie). Potrzebuję znaleźć dowolny punkt łuku (powiedzmy że sprawdzić czy jakiś punkt należy do niego, a dalej mogę losowo sprawdzać) + wyznaczyć ten środek. Dla większości przypadków wystarczy wyznaczenie tego punktu środkowego łuku, czyli w moim przypadku będzie to punkt C.
Na rysunku środkiem łuku jest punkt C przy kącie 90 stopni, ale co w innych przypadkach? Co gdy będę miał łuk od A do B o kącie 38,52 stopnie i tak dalej?

[tomkoder]

Ja tam nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi w takim razie.

Zrób rysunek z pozaznaczanym wszystkim co potrzebujesz konkretnie i co masz dane i wtedy można myśleć dalej.

Ew. jak może być kilka różnych przypadków to je konkretnie oznacz albo zrób oddzielne rysunki.

Ukryta treść:    

Jeszcze słowo do mojego rozwiązania - to co napisałem zadziała dla \(\displaystyle{ AB}\) równoległego do \(\displaystyle{ OX}\).
W związku z tym jeśli \(\displaystyle{ AB}\) nie jest równoległe do \(\displaystyle{ OX}\)to trzeba zaczepić \(\displaystyle{ A}\) w ukł. wsp. na stale i obrócić punkt \(\displaystyle{ B}\) po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ AB}\) tak aby \(\displaystyle{ AB'}\) był równoległy do \(\displaystyle{ OX}\).
On się obróci o jakiś kąt \(\displaystyle{ \beta}\).
Przy tej operacji punkt \(\displaystyle{ C}\) obróci się wokół punktu \(\displaystyle{ A}\) po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ AC}\) również o kąt \(\displaystyle{ \beta}\) i powstanie punkt \(\displaystyle{ C'}\).
Teraz trzeba wykonać obliczenia jak napisałem (dla punktu \(\displaystyle{ C'}\)) a następnie obrócić punkt \(\displaystyle{ C'}\) (którego współrzędne już znamy) z powrotem o kąt \(\displaystyle{ \beta}\).
Czyli przeliczyć odpowiednio wsp. punktu \(\displaystyle{ C'}\) na \(\displaystyle{ C}\).

Najwyraźniej więc moje rozwiązanie jest trochę bardziej skomplikowane.

Skoro jednak się okazuje że nie o to chodzi to będę prezentował konkretnych przekształceń.

[Ania221]

Podajesz, że znane są współrzędne punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
A jak ustawiony jest cały ten okrąg w stosunku do osi współrzędnych?
Czy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) zawsze jest równoległy do osi \(\displaystyle{ OX}\), czy niekoniecznie ?

[zbigniew48]

Czy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) zawsze jest równoległy do osi \(\displaystyle{ OX}\), czy niekoniecznie ?

Niekoniecznie, te punkty mogą być dowolnie rozmieszczone a kąt może przyjmować wartość od 1 (linia prosta) do 180 (półokrąg)

Mam nadzieję że teraz wytłumaczę problem bardziej zrozumiale, znam współrzędne punktów A i B oraz kąt łuku (arc angle).

AU

Wg4P5pv.png (16.33 KiB) Przejrzano 280 razy

Mam następujące punkty
\(\displaystyle{ A(-10;0)}\)
\(\displaystyle{ B(10;0)}\)
Gdy w programie utworzę łuk od \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ A}\) o kącie \(\displaystyle{ 180^\circ}\) to zostaje utworzony ten łuk do którego należy punkt \(\displaystyle{ F}\).
Odległość \(\displaystyle{ |SF|=10}\), jest to szczególny przypadek półokręgu.

Gdy teraz utworzę łuk od \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ A}\) o kącie \(\displaystyle{ 90^\circ}\) to zostaje utworzony łuk do którego należy punk \(\displaystyle{ E}\).
Odległość \(\displaystyle{ |SE|=4,1}\).

Gdy teraz utworzę łuk od \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ A}\) o kącie \(\displaystyle{ 10^\circ}\) to zostaje utworzony łuk do którego należy punk \(\displaystyle{ D}\).
Odległość \(\displaystyle{ |SD|=0,5}\).

Odległości te spisałem z programu. Ale w jaki sposób je otrzymać mając tylko współrzędne końców oraz kąt?
Albo jeszcze inaczej. Jakie jest równanie łuku zależne od współrzędnych końców łuku oraz kąta?

[Ania221]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/2ruf/

Równanie łuku, to jest równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ G(0;b)}\) Ponieważ wg Twojego rysunku środek okręgu leży na osi \(\displaystyle{ OY}\) to wsp \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ b}\) to współrzędna \(\displaystyle{ y=b}\) środka okręgu. \(\displaystyle{ b=SG}\)

\(\displaystyle{ \frac{SG}{SB}=\ctg \frac{\alpha}{2} \Rightarrow SG=SB\ctg\frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ R^2=SB^2\ctg^2\frac{\alpha}{2}+SB^2=SB^2(\ctg^2\frac{\alpha}{2}+1)}\)

Równanie Twojego okręgu

\(\displaystyle{ x^2+(y-SB\ctg\frac{\alpha}{2})^2=SB^2(\ctg^2\frac{\alpha}{2}+1)}\)

\(\displaystyle{ SE=R-SG}\)

[zbigniew48]

Bardzo dziękuję, o to właśnie chodziło