proste prostapadłe i trapez

dora · Post autor: **dora** » 30 kwie 2007, o 14:16

W tapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC zawieraja sie w prostych prostopadłych. Obl. pole trapezu gdy dł. AD=a oraz kąt ABC=kąt DAC=α.
Z gory dziekuje za pomoc. jesli to zadanie było juz kiedys robione to prosze o link lub chociaz info o tym ze gdzies jest na forum. szukałam ale dosc pobieznie i moze cos przeoczyłam.

Eriol Velcrow · Post autor: **Eriol Velcrow** » 30 kwie 2007, o 18:10

Najlepiej na początek zrobić rysunek tego trapezu razem z przedłużeniem boków AD i BC tak by utworzyć trójkąt prostokątny. Z warunków zadania wynika że kąty przy dłuższej podstawie trapezu są równe i pokrywają się z kątami narysowanego trójkąta prostokątnego. Łatwo więc obliczamy że wynoszą 45°. Oznaczmy wysokość jako \(\displaystyle{ h}\), krótszą podstawę jako \(\displaystyle{ b}\), a dłuższą jako \(\displaystyle{ d}\)

\(\displaystyle{ h\,=\,a\cdot \sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ c\,=\,a\cdot \cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{ b + c }{h}\,=\,\tan\alpha}\)
\(\displaystyle{ d\,=\,b + 2c}\)
\(\displaystyle{ \alpha \,=\,45°}\)

Wystarczy podstawić do wzoru na pole trapezu odpowiednie wartości funkcji trygonometrycznych i otrzymasz wynik. Miłego liczenia.

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 18:19

kąty nie sa równe przy podstawie kat DAC= kat ABC

Eriol Velcrow · Post autor: **Eriol Velcrow** » 30 kwie 2007, o 18:21

Bardzo przepraszam. Moja pomyłka.

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 18:22

własnie robie rysunek , by wydobyc odpowiednia zaleznosc, ale najpierw trzeba zrobic rysunek - to podstawa potem popatrzec jak pozostałe kąty w trojkacie zalezą od alfy

[ Dodano: 30 Kwiecień 2007, 18:29 ]
DAC= alfa, to CAB= 90 - 2alfa, ACB= 90 + alfa, ACD= 90 - 2alfa, ADC= 90+alfa, trojkat ABC pjest podobny do trojkata CAD
wysokosc trapezu to z sinusa (90-alfa)= h/a

baksio · Post autor: **baksio** » 30 kwie 2007, o 18:44

a reszte boków policzyć z twierdzenia sinusów

dora · Post autor: **dora** » 30 kwie 2007, o 18:48

wypisałam sobie te katy ale jakos nie widze sposobu na rozwiazanie. ciagle mi jakiegos boku brakuje. chciałam to zrobic z tw. cosinusów ale obliczenia wyszły takie ze 2 str A4 ciurkiem zapisane i brak wyniku, potem z talesa ale do niczego mnie to nie doprowadziło i podobieństwo. to chyba jedno z tych zadan w ktoeych trzeba to "cos" zauważyc tylko co...moze ktos spróbuje mi pomóc.

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 18:58

masz wszystkie kąty juz wypisane ;
wysokosc policzysz z sinusa, AD=a i tw sinusów
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sin b} =2R}\)

dora · Post autor: **dora** » 30 kwie 2007, o 19:12

ale co to jest b - dłuższa podstawa trapezu? to z wysokoscia to jasne dla mnie ale tw. sinusów jakos nie kapuje czemu mam je tu uzyc b=2R ale co z tego?

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 19:16

masz dane w trojkacie ACD wszystkie katy oraz jeden bok AD=a , tw sinusów mówi ze stosunek boku do kąta naprzeciwległego temu bokowi wynosi 2R, R- promien okregu opisany na tym trojkacie, znajdziesz krotsza podstawe trapezu,

dora · Post autor: **dora** » 30 kwie 2007, o 19:24

nie kapuje. a/sin(90-2alfa) = 2R R promień okregu na trójkacie ACD i co mam z tym R zrobić? zeby wyznaczyć DC??

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 19:44

DC/ sin(alfa)= 2R , za R podstawiasz to co wyszło wczesniej, pamietaj o wzorach redukcyjnych
sin(90-a)= cos a

[ Dodano: 30 Kwiecień 2007, 19:58 ]
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin (90-2 ) } = \frac{DC}{\sin (\alpha) } = \frac{AC}{\sin (90+ ) }}\)
i trojkat ABC

\(\displaystyle{ \frac{CB}{\sin (90-2 ) } = \frac{AC}{\sin (\alpha) } = \frac{AB}{\sin (90+ ) }}\)

[ Dodano: 30 Kwiecień 2007, 20:00 ]
\(\displaystyle{ \sin (90- ) = \frac{h}{a}}\)

dora · Post autor: **dora** » 30 kwie 2007, o 20:00

dziekuje ci bardzo po przedostatnim poscie juz doszłam do dobrego wyniku. jeszcze raz wielkie dzieki...

sushi · Post autor: **sushi** » 30 kwie 2007, o 20:03

zostawiłem wiadomosc na gg, ale nic szczegolnego