Maksymalne pole wielokąta

[Tomasz 4242]

Na nieskończonej kratownicy bok każdego małego kwadratu ma długość 1 m. Budujemy zagrodę z 20 płotków o długości 5m każdy. Dwa końce każdego płotka muszą byc ustawione na dwóch końcach kratkowania. Jaką powierzchnie mozna ogrodzić i zamknąc co najwyżej. Wynik podać w metrach kwadratowych.

[tomkoder]

Ciekawy problem.

Łatwo pokazać że powstały wielokąt musi być wypukły (nie może być wklęsły).

Dla foremnych wyliczyłem sobie że im więcej boków tym większe pole da się zamknąć. Można by wiec protestować kolejne wieloboki foremne i wybrać taki który ma największa liczbę boków i jego wierzchołki znajdują się na kratownicy.
Aczkolwiek nie bardzo wiem jak to zrobić poza sprawdzeniem "ręcznym" każdego wielokąta.

Tak czy inaczej niewiele to daje ponieważ zostają wielokąty nieforemne - i za te nie mam pojęcia jak się zabrać.

ktoś mi poradził ze robił kiedyś takie zadanie i że trzeba to rozwiązać w układzie współrzędnych tak "na pałę" - ręcznie zgadując.

Tylko czy rzeczywiście nie da się jakoś bardziej algorytmicznie?

[Ponewor]

A czy jak ogrodzimy jakąkolwiek trywialną figurę, to czy nie możemy stwierdzić, że ogrodziliśmy wszystko poza nią?

[Vether]

Ponewor, sprytnie Ale chyba nie o to chodzi

Mi się udało "ogrodzić" \(\displaystyle{ 757 m^2}\), ale nie mam pojęcia jak ładnie pokazać, że nie da się więcej...

[tomkoder]

Ponewor - ale wtedy zadanie sprowadza się do znalezienia najmniejszej powierzchni którą można ogrodzić tymi płotkami (zakładam że nie można umieścić wszystkich 20 płotków obok siebie tak aby tworzyły jedną 5-metrową linię). Czy to byłoby rzeczywiście prostsze?

[Ponewor]

Jak najmniejszą? Twierdzisz, że wówczas jedna nieskończoność jest większa od drugiej?

[kruszewski]

Czy problem nie sprowadza się do ;
1. Znalezienia wieloboku, figury, która przy jednakowej długości obwodu ma największe pole.
2.Mając obwód figury ( owe 20 x5 m) obliczyć pole.
Taką figurą jest chyba kwadrat? (tak mi świta z ćwiczeń na ekstrema).

[Ponewor]

Przy czym długość każdego boku jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 5}\), i wierzchołki leżą w punktach kratowych.

[kruszewski]

Co tu jest oczywistą oczywistością spełniającą warunki zadania.