dziwny czworokąt

[AndrzejK]

[ravgirl]

Jaki to czworokąt? Jaki jest wzór na jego pole?
+ tw. Talesa do obliczenia potrzebnych odcinków.

Warto też oznaczyć sobie jakoś wysokość i podstawę dużego trójkąta i zapisać jego pole.

[Ania221]

Pomyśl, ile wynosi pole całego środkowego trójkąta.
Potem zauważ, które trójkąty są t w nim podobne i w jakiej skali.
Szukane pole jest różnicą pól 2 trójkątów podobnych.

[AndrzejK]

Ile wynosi pole środkowego trójkąta? nie znamy wysokości, jedynie dł. podstawy.

Czworokąt to trapez, a wzór to \(\displaystyle{ \frac{(a+b) \cdot h}{2}}\)

[ravgirl]

1. Oznacz sobie np. podstawę dużego trójkąta przez \(\displaystyle{ a}\), a jego wysokość przez \(\displaystyle{ H}\). Zapisz przy pomocy tych oznaczeń pole tego trójkąta.
2. Jaką długość, w zależności od \(\displaystyle{ a}\) mają poziome odcinki?
3. Jaka jest wysokość trapezu w zależności od \(\displaystyle{ H}\)?

[Ania221]

Ile wynosi pole środkowego trójkąta? nie znamy wysokości, jedynie dł. podstawy.

Czworokąt to trapez, a wzór to \(\displaystyle{ \frac{(a+b) \cdot h}{2}}\)

Ale podstawa jest podzielona na 3 równe części. A wszystkie 3 trójkąty maja jednakową wysokość.

[AndrzejK]

1. \(\displaystyle{ \frac{a \cdot h}{2} = 1 = P_t}\)
2. Poziome na samym dole, czyli w podstawie dużego trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a}\)
3. Wysokość tego trapezu to jedna trzecia wysokości dużego trójkąta.

Ania, pole środkowego to 1/3?

[ravgirl]

Tak. To spójrzmy teraz na środkowy trójkąt - jego podstawa to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\). A jakie są w takim razie długości podstaw trapezu? Skoro wiemy, że poszczególne trójkąty są podobne? (jaka jest skala podobieństwa?)

[AndrzejK]

średni trójkąt w skali \(\displaystyle{ k=\frac{2}{3}}\), a najmniejszy w skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{3}}\), tak? W takim razie długości podstaw to \(\displaystyle{ \frac{2}{9}a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{9}a}\)?

[ravgirl]

Tak. Wystarczy podstawić teraz do wzoru.

[Ania221]

Ania, pole środkowego to 1/3?

Tak.
Jaki jest stosunek pól figur podobnych?
Jaką częścią Środkowego trójkąta jest mały górny trójkąt?
Jaką częścią środkowego trójkąta jest większy górny trójkąt?

[AndrzejK]

Odpowiedź A?

[ravgirl]

Mnie wyszła odpowiedź C

[AndrzejK]

\(\displaystyle{ P = \frac{\frac{1}{3}a\frac{1}{3}h}{2} = \frac{\frac{1}{9}ah}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9}}\)

[ravgirl]

Masz rację, mój błąd.