Mamy dwa koncentryczne okręgi. Na mniejszym opisany jest trójkąt, a na trójkącie opisany jest większy
okrąg. Pole pierścienia ograniczonego przez dwa okręgi to \(\displaystyle{ 27\pi}\). Pole trójkąta to:
Moje rozwiązanie:
Oznaczmy pole większego okręgu przez \(\displaystyle{ P_1}\), a jego średnicę przez \(\displaystyle{ r_1}\). Pole mniejszego przez \(\displaystyle{ P_2}\), a jego średnicę przez \(\displaystyle{ r_2}\). Wówczas pole pierścienia \(\displaystyle{ P_p=27\pi}\) to: \(\displaystyle{ P_p=P_1-P_2=\pi r_1^2 - \pi r_2^2 = \pi(r_1-r_2)(r_1+r_2)}\)
Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w trójkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jego wysokości, oraz, że promień okręgu opisanego na trójkącie to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego wysokości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_c=\pi(\frac{2}{3}h-\frac{1}{3}h)(\frac{2}{3}h+\frac{1}{3}h) = \frac{1}{3}h^2 \pi}\)
Teraz mamy \(\displaystyle{ 81=\frac{1}{3}h^2 \pi \Leftrightarrow h=9}\). Dalej mamy...
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow a = 6\sqrt{3}}\). Dalej już prosto, wyjdzie \(\displaystyle{ 27\sqrt{3}}\).
Pytania:
1. Czy rozwiązanie jest poprawne?
2. Da się jakość prościej?
3. Czy jest gdzieś w internecie słowniczek lub coś w ten gust, bo przyznam, że na początku nie wiedziałem, że koncentryczny = współśrodkowy i miałbym problem z wykonaniem zadania .
Koncentryczne okręgi.
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Koncentryczne okręgi.
\(\displaystyle{ pi r_1^2 - \pi r_2^2= \pi (r_1^2-r_2^2)=27 \pi}\)
\(\displaystyle{ r_1^2-r_2^2=( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2-( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2= \frac{a^2}{4}=27}\)
\(\displaystyle{ r_1^2-r_2^2=( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2-( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2= \frac{a^2}{4}=27}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
Koncentryczne okręgi.
Rozumiem! Mimo wszystko moje rozwiązanie wydaje mi się prostsze, łatwiejsze do wpadnięcia . Może uda mi się tą metodę zapamiętać! A do 3. ma pani jakąś sugestię?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Koncentryczne okręgi.
Musisz jeszcze pokazać, że z koncentryczności okręgów wynika, że trójkąt jest równoboczny. Bo jak nie, to którą w wysokości chcesz wybraćAndrzejK pisze:Mamy dwa koncentryczne okręgi. Na mniejszym opisany jest trójkąt, a na trójkącie opisany jest większy
okrąg. Pole pierścienia ograniczonego przez dwa okręgi to \(\displaystyle{ 27\pi}\). Pole trójkąta to:
Moje rozwiązanie:
...
Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w trójkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jego wysokości, oraz, że promień okręgu opisanego na trójkącie to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego wysokości ...