Koncentryczne okręgi.

[AndrzejK]

Mamy dwa koncentryczne okręgi. Na mniejszym opisany jest trójkąt, a na trójkącie opisany jest większy
okrąg. Pole pierścienia ograniczonego przez dwa okręgi to \(\displaystyle{ 27\pi}\). Pole trójkąta to:

Moje rozwiązanie:
Oznaczmy pole większego okręgu przez \(\displaystyle{ P_1}\), a jego średnicę przez \(\displaystyle{ r_1}\). Pole mniejszego przez \(\displaystyle{ P_2}\), a jego średnicę przez \(\displaystyle{ r_2}\). Wówczas pole pierścienia \(\displaystyle{ P_p=27\pi}\) to: \(\displaystyle{ P_p=P_1-P_2=\pi r_1^2 - \pi r_2^2 = \pi(r_1-r_2)(r_1+r_2)}\)
Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w trójkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jego wysokości, oraz, że promień okręgu opisanego na trójkącie to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego wysokości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_c=\pi(\frac{2}{3}h-\frac{1}{3}h)(\frac{2}{3}h+\frac{1}{3}h) = \frac{1}{3}h^2 \pi}\)
Teraz mamy \(\displaystyle{ 81=\frac{1}{3}h^2 \pi \Leftrightarrow h=9}\). Dalej mamy...
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow a = 6\sqrt{3}}\). Dalej już prosto, wyjdzie \(\displaystyle{ 27\sqrt{3}}\).

Pytania:
1. Czy rozwiązanie jest poprawne?
2. Da się jakość prościej?
3. Czy jest gdzieś w internecie słowniczek lub coś w ten gust, bo przyznam, że na początku nie wiedziałem, że koncentryczny = współśrodkowy i miałbym problem z wykonaniem zadania .

[Ania221]

\(\displaystyle{ pi r_1^2 - \pi r_2^2= \pi (r_1^2-r_2^2)=27 \pi}\)

\(\displaystyle{ r_1^2-r_2^2=( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2-( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2= \frac{a^2}{4}=27}\)

[AndrzejK]

Rozumiem! Mimo wszystko moje rozwiązanie wydaje mi się prostsze, łatwiejsze do wpadnięcia . Może uda mi się tą metodę zapamiętać! A do 3. ma pani jakąś sugestię?

[Ania221]

Nie, ja jestem kiepska w poszukiwaniach netowych.

[a4karo]

Mamy dwa koncentryczne okręgi. Na mniejszym opisany jest trójkąt, a na trójkącie opisany jest większy
okrąg. Pole pierścienia ograniczonego przez dwa okręgi to \(\displaystyle{ 27\pi}\). Pole trójkąta to:

Moje rozwiązanie:
...
Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w trójkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jego wysokości, oraz, że promień okręgu opisanego na trójkącie to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego wysokości ...

Musisz jeszcze pokazać, że z koncentryczności okręgów wynika, że trójkąt jest równoboczny. Bo jak nie, to którą w wysokości chcesz wybrać