Wykaż zalezność w trapiezie równoramiennym opisanym na okręg

[kaki2308]

Trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) jest opisany na okręgu o promieniu r.
Wykaż, że \(\displaystyle{ 4r^{2} = |AB|*|CD}\).

Zadanie z matury rozszerzonej z 2013 roku z maja.

Wiem jak je zrobić ale zastanawia mnie czy korzystając z tego, że

\(\displaystyle{ |AB|, 2r, |CD|}\) − jest ciągiem geometrycznym
\(\displaystyle{ |AB|, 2r, |CD|}\) − jest ciągiem arytmetycznym
z: \(\displaystyle{ 2r = \frac{|AB| + |CD|}{2}}\)

można też jakoś udowodnić tę zależność?

[Jacek_Karwatka]

Jesteś pewien że
|AB|, r, |CD| − jest ciągiem arytmetycznym
?

[kaki2308]

Racja
\(\displaystyle{ |AB|, 2r, |CD|}\) - to jest ciąg arytmetyczny.

z: \(\displaystyle{ 2r = \frac{|AB| + |CD|}{2}}\)

[a4karo]

Napisz równość, którą masz udowodnić w postaci \(\displaystyle{ \frac{2r}{|AB|}=\frac{|CD|}{2r}}\)

[kaki2308]

Wiem jak je zrobić tą "zwykłą" metodą.
Ale tutaj mamy dwa ciągi. Coś kiedyś słyszałem o tym, że logarytmując wyrazy (dodatnie) ciągu geometrycznego otrzymujemy arytmetyczny. Nie jestem pewien czy można to tutaj wykorzystać a jeśli tak to jestem ciekawy jak

[a4karo]

Ciąg \(\displaystyle{ |AB|,\ r,\ |CD|}\) nie jest arytmetyczny. Gdy ustalimy promień okręgu i będziemy zbliżali punkty \(\displaystyle{ C, D/ ex] do siebie to długość drugiej podstawy będzie rosła do nieskończoności.}\)

[morfik]

Tu znajdziesz pełne rozwiązanie: ... YwMQ%3d%3d

[kaki2308]

Wiem, chodziło mi o ciąg:
\(\displaystyle{ |AB|,\ 2r,\ |CD|}\)
poprawiłem już pierwszy post.

Ale widzę, że źle rozumuje bo to nie ma sensu

[a4karo]

@morfik
Przeczytaj problem. Pytanie było nie o rozwiązanie zadania, a o to, czy z faktu, że pewne liczby tworzą ciąg geometryczny wynika teza.

Nawiasem mówiąc, zaprezentowane rozwiązanie jest dosyć skomplikowane: trzeba wiedzieć np. ze sumy długości przeciwległych boków są równe. Dużo prościej (korzystam z oznaczeń w pokazanym rozwiązaniu) oznaczyć przez \(\displaystyle{ F}\) punkt styczności okręgu wpisanego w bokiem \(\displaystyle{ AD}\). Wtedy trójkąt \(\displaystyle{ AOD}\) jest prostokątny i z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ AOF}\) i \(\displaystyle{ FOD}\) wynika, że \(\displaystyle{ |AF|\cdot|FD|=r^2}\). Teza wynika z faktu, że \(\displaystyle{ |AF|=|AB|/2}\) i \(\displaystyle{ |FD|=|CD|/2}\).

[morfik]

a4caro - ładnie!