odcinek w trapezie

[slawek5170]

dany jest trapez ABCD o podstawie AB mającej długość \(\displaystyle{ 12}\).Na podstawie CD obrano punkt P taki że\(\displaystyle{ DP=4}\) odcinek BP przecina przekątną AC w punkcie R.Pole trójkąta ABR jest równe polu czworokąta ARPD. Oblicz długość odcinka PC.

[Ania221]

Zacznij od tego, że trójkąt \(\displaystyle{ PCR}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ ABR}\) a skala podobieństwa jest \(\displaystyle{ \frac{x}{12}}\).
Stąd masz stosunek pól tych dwóch trójkątów.
Pole tr. \(\displaystyle{ CRB}\) jest różnicą pól tr \(\displaystyle{ PCB}\) i tr \(\displaystyle{ PCR}\)
Analogicznie pole tr \(\displaystyle{ ADC}\) jest sumą pół tr \(\displaystyle{ PCR}\) i czworokąta \(\displaystyle{ ADPR}\)

[slawek5170]

no ok, ale co dalej, bo nie mam pomysłu

[macik1423]

Te dwa pola razem dają pole trapezu ABPD.
\(\displaystyle{ 2P= \frac{1}{2} \cdot (4+12) \cdot h}\)

\(\displaystyle{ 2P=8h}\)

\(\displaystyle{ P=4h}\)

Pole trójkąta ABR:

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_{1}}\)

\(\displaystyle{ P=4h}\)

\(\displaystyle{ 4h=6h_{1}}\)

\(\displaystyle{ h_{1}= \frac{2}{3}h}\)

Trójkąty ABR i PRC są podobne,

\(\displaystyle{ h_{2}}\) wysokość trójkąta PRC
\(\displaystyle{ h_{2}+h_{1}=h}\)
z podobieństwa:
\(\displaystyle{ \frac{a}{12}= \frac{h_{2}}{h_{1}}}\), a=|PC|
\(\displaystyle{ a= \frac{h_{2}}{h_{1}} \cdot 12= \frac{h-h_{1}}{h_{1}} \cdot 12=( \frac{h}{h_{1}}-1) \cdot 12=( \frac{ \frac{3}{2} \cdot h_{1} }{h_{1}} -1) \cdot 12=( \frac{3}{2}-1) \cdot 12=6}\)

[Ania221]

Widzę, że kolega już podał na tacy gotowe rozwiązanie.