Trapez - długość odcinka dzielącego wysokość w stosunku m:n

[strategiehalasu]

Bardzo proszę o jakieś wskazówki.

Długości podstaw AB i CD trapezu ABCD są równe a i b (a>b). Prosta k równoległa do podstaw dzieli wysokość trapezu w stosunku m:n licząc od podstawy CD. Oblicz długość odcinka prostej k zawartego w trapezie.

[Ania221]

Prosta \(\displaystyle{ k}\) dzieli trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) na 2 trapezy, których suma pól jest równa polu trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) spróbuj to wykorzystać, oraz że \(\displaystyle{ h_1=h-h_2}\) i ich stosunek.
Wyznacz \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ h}\) \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)

[strategiehalasu]

Czy dane m i n mają się pojawić w wyniku, czy są tylko po to, aby zaznaczyć, że dane odcinki są różnej długości (\(\displaystyle{ m \neq n}\))?

[Ania221]

mają się pojawić

[strategiehalasu]

Czyli mam przyjąć, że wysokości trapezów licząc od dolnej podstawy to odpowiednio m i n?-- 17 gru 2013, o 18:07 --Poprowadziłam odcinek równoległy do jednego z ramion i z podobieństwa otrzymanych trójkątów obliczyłam stosunek \(\displaystyle{ \frac{h1}{h}}\), obliczyłam ten sam stosunek z sumy \(\displaystyle{ P1+P2=P_{trapezu}}\). Otrzymałam tożsamość.. Co jest nie tak w sposobie rozwiązania?

[marcel112]

masz zalezność, że \(\displaystyle{ \frac{h_1}{h_2}=\frac{m}{n} \implies h_1n=h_2m}\) oraz \(\displaystyle{ h_1+h_2=h}\) teraz z pierwszej zależności wstawiasz do drugiej \(\displaystyle{ h_1=\frac{h_2n}{m}}\) skąd otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{h_2n}{m} +h_2=h \implies h_2(1+\frac{m}{n})=h \implies h_2=\frac{hn}{m+n}}\) analogicznie liczysz, że \(\displaystyle{ h_1=\frac{hm}{m+n}}\)

niech\(\displaystyle{ k}\) będzie szuaną długością, teraz z pól masz

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)h}{2}=\frac{k+b}{2} \frac{hm}{m+n}+ \frac{k+a}{2} \frac{hn}{m+n} \implies a+b=\frac{2k+a+b}{m+n}

\implies
k=\frac{(a+b)(m+n)-(a+b)}{2}=\frac{(a+b)(m+n-1)}{2}}\)

[Ania221]

hm....tu na końcu to jest trochę pomylone
Powinno być
\(\displaystyle{ a+b=\frac{km+bm+kn+an}{m+n}}\)
stąd \(\displaystyle{ (a+b)(m+n)=km+bm+kn+an}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{am+bn}{m+n}}\)

[marcel112]

faktycznie zjadłem niechcący \(\displaystyle{ m,n}\)

[strategiehalasu]

Ślicznie dziękuję!