Pole trójkąta i równoległobok

[jarodol]

1. Pole S trójkąta ABC spełnia równość \(\displaystyle{ S = a ^{2} - (b - c) ^{2}}\) , gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciw kątów o miarach \(\displaystyle{ \alpha , \beta ,\gamma}\) . Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) .

2. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\) . Stosunek kwadratów długości przekątnych jest równy 19:7. Oblicz stosunek długości boków równoległoboku.

[marcel112]

Zadanie 2.

Liczysz przekątne z tw. cosinusów

\(\displaystyle{ d_1^2=a^2+b^2+ab}\)

\(\displaystyle{ d_2^2=a^2+b^2-ab}\)

w zadaniu masz podane, że \(\displaystyle{ \frac{d_1^2}{d_2^2}=\frac{19}{7}}\)

podstawiając wyliczone wartości dochodzisz do równania kwadratowego \(\displaystyle{ 6a^2-13ab+6b^2=0}\)

które jest równoważne
\(\displaystyle{ 6x^2-13x+6=0}\) gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) a stąd otrzymujesz pierwiastki \(\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} \vee x_2=\frac{2}{3}}\) które są szukanymi stosunkami \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\).

Zadanie 1. Masz \(\displaystyle{ S_1=a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)}\) oraz \(\displaystyle{ S_2=\frac{1}{2}bc\sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ S_1=S_2 \implies \frac{1}{2}bc\sin\alpha=(a-b+c)(a+b-c) \implies \sin\alpha=\frac{2(a-b+c)(a+b-c)}{bc}}\)

[mortan517]

Twierdzenie cosinusów i wzór na pole trójkąta (2 boki i kąt).

Podziel sobie równoległobok na prostokąt i 2 trójkąty następnie zapisz odpowiednie równania z pitagorasa dla przekątnych, wstaw do podanego stosunku i wylicz \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\).

[jarodol]

W pierwszym zadaniu ok, tylko zastanawiam się ( o ile to w ogole możliwe) czy sinus nie powinien mi wyjść jako stała liczba bo mam podać miarę kąta a nie sinus więc sam nie wiem....

W drugim nie za bardzo ogarniam to przejscie z a i b na x....

[piasek101]

\(\displaystyle{ 6a^2-13ab+6b^2=0|:b^2}\) a potem podstawienie \(\displaystyle{ a:b=x}\)

[mortan517]

Pierwsze można też tak:
z cosinusów mamy
\(\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos \alpha \\ a^2 - b^2 - c^2 = -2bc \cos \alpha}\)

Wstawiamy do równości:
\(\displaystyle{ S = a ^{2} - (b - c) ^{2}= a^2 - b^2 -c^2 + 2bc = 2bc - 2bc \cos \alpha = 2bc(1 - \cos \alpha)}\)

Teraz wiemy także, że pole trójkąta możemy wyrazić tak:
\(\displaystyle{ S= \frac{bc \cdot \sin \alpha}{2}}\)

Po przyrównaniu:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = 4(1 - \cos \alpha)}\)

I wydaje mi się, że z tego już można policzyć.