Czy da się zbudować trójkąt?

[gus]

Wybrano \(\displaystyle{ 7}\) dowolnych odcinków z przedziału \(\displaystyle{ [1,10]}\). Czy da się z nich zbudować trójkąt?
Wiem, że tak, ale ładnie nie potrafię tego udowodnić. Mógłby mi ktoś w tym zadaniu pomóc?

[Vax]

Załóżmy nie wprost, że wybrano 7 odcinków \(\displaystyle{ x_1 \le x_2 \le ... \le x_7}\) o długościach z przedziału \(\displaystyle{ [1;10]}\) takich, że z żadnych trzech nie da się wybudować trójkąta, czyli:

\(\displaystyle{ x_3 > x_2+x_1 \ge 2}\), ale wtedy \(\displaystyle{ x_4 > x_3+x_2 \ge 3}\), czyli \(\displaystyle{ x_5 > x_4+x_3 \ge 5}\), więc \(\displaystyle{ x_6 > x_5+x_4 \ge 8}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x_7 > x_6+x_5 \ge 13}\) sprzeczność.