n-kąt wpisany w okrąg jednostkowy

[klakun]

Cześć. Męczę się nad jednym zadaniem i mam nadzieję, że znajdę tutaj pomoc.
Mam obliczyć wartość oczekiwaną długości przekątnej n-kąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy.

Rozważałam przypadek, gdy n jest parzyste.
długość przekątnej to \(\displaystyle{ d_{i} =2\cdot \cos( \frac{ \pi \cdot (n-2i-2)}{2n})}\)
wychodzi mi, że E(d) dąży do 0, przy n dążącym do nieskończoności. Wydaje mi się, że tak nie może być.

Może ma ktoś jakiś pomysł?

[norwimaj]

Napisz treść zadania, bo jasnowidzów na forum jest mało i nie każdy może wiedzieć, co masz dane, a co losujesz i według jakiego rozkładu.

[klakun]

Nie mam więcej danych. Napisałam całą treść.
Mam obliczyć wartość oczekiwaną długości przekątnej w n-kącie foremnym wpisanym w okrąg jednostkowy.

Dane: n-kąt, okrąg o promieniu 1
Zmienna losowa: długość przekątnej w n-kącie foremnym
Na mój gust jest to rozkład dyskretny.

Wskazówki od prowadzącego:
1. Nie trzeba korzystać z rachunku prawdopodobieństwa.
2. W tym zadaniu można przyjąć, że wartość oczekiwana to iloraz sumy wszystkich odcinków i liczby wszystkich odcinków. (dlaczego? nie wiem)

[norwimaj]

Czyli \(\displaystyle{ n}\)-kąt jest dany i losujesz z niego przekątną. Długości poszczególnych przekątnych potrafisz policzyć? (na przykład z tw. sinusów)

[klakun]

Tak, dokładnie tak. Długość przekątnych potrafię wyliczyć, gdy n jest parzyste, w przeciwnym przypadku mam problem. Wzór podałam w pierwszym poście.

[norwimaj]

Liczby nieparzyste nie są problemem, bo twierdzenie sinusów i tak działa. Równie dobrze można robić z tw. kosinusów. A jeśli chcesz w inny sposób, to możesz sprowadzić zadanie do przypadku parzystej liczby boków korzystając z tego, że przekątna \(\displaystyle{ n}\)-kąta jest też przekątną \(\displaystyle{ 2n}\)-kąta.

Jeśli ponumerujemy przekątne (wychodzące z konkretnego wierzchołka) liczbami od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ n-2}\), to według mnie wychodzi

\(\displaystyle{ d_i=2\sin\left(\frac{\pi}2\cdot\frac in\right),}\)

czyli to samo co Tobie. (bo Ty chyba numerujesz od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n-3}\))

Wartość średnia nie dąży do zera.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=2}^{n-2}2\sin\left(\frac{\pi}2\cdot\frac in\right)=\int_0^12\sin\left(\frac{\pi}2x\right)\dd x.}\)

[klakun]

Już znalazłam błąd w swoim rozumowaniu, albo inaczej moment, w którym zacięłam się.
Wybierałam dłuższą przekątną, której długość znałam 2R=2, dlatego potrzebowałam parzystość n, aby wiedzieć, że dłuższa przekątna będzie średnią okręgu opisanego na n-kącie. Następnie znajdowałam trójkąty prostokątne o bokach 2R i d trzeci bok mnie nie interesował (prostokątne, bo oparte na średnicy).

Uświadomiłam sobie, ze nie ma potrzeby wymierania przekątnej, a wystarczy wybrać promień. Następnie korzystając z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ d_{i}=2\cdot \cos( \frac{ \pi }{n} \left| n-2-i\right| )}\) gdzie \(\displaystyle{ 1\le i \le n-3}\)

Następnie obliczam wartość oczekiwaną.

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{n(n-3)}{2} } \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-3} \cos( \frac{ \pi }{2}\left| n-2-i\right|)}\)

Ale to nadal dąży do 0. Czy coś kręcę?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{n(n-3)}{2} } \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-3} \cos( \frac{ \pi }{2}\left| n-2-i\right|)}\)

Z całą pewnością czegoś brakuje w argumencie kosinusa. Dla nieparzystego \(\displaystyle{ n-i}\) długość przekątnej wychodzi \(\displaystyle{ 0}\), a tak nie powinno być.