"Korzystając z rachunku wektorowego udowodnij że przekątne rombu są do siebie prostopadłe."
Proszę o pomoc, jedyną rzeczą, którą udało mi się zrobić jest rysunek. Nie mam pomysłu od czego zacząć.
Romb i rachunek wektorowy
-
Powermac5500
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 62 razy
Romb i rachunek wektorowy
Załóżmy, że romb rozpięty jest na dwóch wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{a} = \left[ a_{1} , a_{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = \left[ b_{1} , b_{2} \right]}\)
o równej długości:
\(\displaystyle{ a_{1}^2+ a_{2}^2= b_{1}^2+ b_{2}^2}\)
Przekątne rombu to:
\(\displaystyle{ \vec{c}= \vec{a}+\vec{b}=\left[ a_{1}+b_{1} , a_{2}+b_{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{d}= \vec{a}-\vec{b}=\left[ a_{1}-b_{1} , a_{2}-b_{2}\right]}\)
Z iloczynu skalarnego liczymy cosinus kąta pomiędzy przekątnymi:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\vec{c} \circ \vec{d}}{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right|}= \frac{\left(a_{1}+b_{1} \right)\left( a_{1}-b_{1}\right) +\left(a_{2}+b_{2} \right)\left( a_{2}-b_{2}\right) }{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right| } }= \frac{a_{1}^2-b_{1}^2+a_{2}^2-b_{2}^2}{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right|}= 0}\)
bo licznik jest równy zero.
czyli
\(\displaystyle{ \alpha =90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = \left[ a_{1} , a_{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = \left[ b_{1} , b_{2} \right]}\)
o równej długości:
\(\displaystyle{ a_{1}^2+ a_{2}^2= b_{1}^2+ b_{2}^2}\)
Przekątne rombu to:
\(\displaystyle{ \vec{c}= \vec{a}+\vec{b}=\left[ a_{1}+b_{1} , a_{2}+b_{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{d}= \vec{a}-\vec{b}=\left[ a_{1}-b_{1} , a_{2}-b_{2}\right]}\)
Z iloczynu skalarnego liczymy cosinus kąta pomiędzy przekątnymi:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{\vec{c} \circ \vec{d}}{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right|}= \frac{\left(a_{1}+b_{1} \right)\left( a_{1}-b_{1}\right) +\left(a_{2}+b_{2} \right)\left( a_{2}-b_{2}\right) }{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right| } }= \frac{a_{1}^2-b_{1}^2+a_{2}^2-b_{2}^2}{\left| \vec{c}\right| \left| \vec{d}\right|}= 0}\)
bo licznik jest równy zero.
czyli
\(\displaystyle{ \alpha =90^\circ}\)