Wyznacz sinus kąta

[3682984]

Witam, potrzebuję pomocy, mam oto takie zadanie :
"Wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg 22 ^{\circ} 30'= \sqrt{2}-1}\), oblicz \(\displaystyle{ \sin 22 ^{\circ} 30'}\)"
Nie mogę w żaden sposób wpaść na rozwiązanie :/ będę wdzięczny za pomoc. Pozdrawiam.

[rtuszyns]

\(\displaystyle{ \sin\alpha =\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}}\)

[yorgin]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=\tan \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\). Dostaniesz układ równań do rozwiązania. Wzorek podany przez rtuszynsa jest prawdziwy, ale zmusza do pamiętania dodatkowego wzoru, którego ja nigdy bym nie zapamiętał.

[3682984]

Dzięki wielkie teraz ogarniam

[rtuszyns]

Wzorek podany przez rtuszynsa jest prawdziwy, ale zmusza do pamiętania dodatkowego wzoru, którego ja nigdy bym nie zapamiętał.

Niekoniecznie zmusza do pamiętania...
Mamy:
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha}\)
Teraz korzystając ze wzoru "jedynka trygonometryczna", czyli
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\)
mamy
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\)

Dostajemy zatem
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\tan\alpha}\)
Teraz podnosząc do kwadratu stronami dostajemy
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)\tan^2\alpha}\)
i po prostych przekształceniach wyznaczamy \(\displaystyle{ \sin\alpha}\)

Wynik ostateczny: \(\displaystyle{ \sin\alpha =\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}}\)

[yorgin]

rtuszyns, chodzi nie o umiejętność wyprowadzania wzoru, a jego pamiętanie. Z dydaktycznego punktu widzenia pamiętanie setek wzorów jest bezcelowe, zdecydowanie lepiej jest zapamiętać kilka podstawowych i na ich podstawie albo wyprowadzać kolejne, co świetnie wyżej pokazałeś, albo też obejść się bez nich tak, jak ja zasugerowałem we wcześniejszym poście.

Gdybym był na miejscu 3682984, pierwsze co, zapytałbym skąd ten wzór, albo czy muszę pamiętać takie wzory? Twoje wyprowadzenie jest cenniejsze od gotowego wzoru, a tym samym pozwala rozwiązać zadanie.