Pole czworokąta - pole równoległoboku.

[edzia96]

W równoległoboku ABCD poprowadzono przekątną DB oraz odcinek AM, gdzie M jest środkiem boku DC. Proste DB i AM przecinają się w punkcie P. Oblicz, jaką część pola równoległoboku ABCD stanowi pole czworokąta ABCP.

AU

12517a83835c316fmed.jpg (27.93 KiB) Przejrzano 1594 razy

[/url]

Gdy dorysuję sobie drugą przekątną to punkt przecięcia jest w połowie (nazwałam go "O"). Zauważyłam, że
DPM ~ DCO~ABO
no i z danych wyliczyłam, że skala podobieństwa k=1/2.
czyli stosunek pól to 1/4...
i na tym stanęłam.. snułam jeszcze przemyślenia co do tego. no ale zawsze w kółko się kręciłam.
Zauważyłam, że P DPM= P PMC.
We wskazówce jest napisane, że P ABP=4P DPM... no ale dlaczego? jak to dalej ruszyć?

[piasek101]

Uzależnić pola od wysokości (pionowej) równoległoboku - lub jej części z górnego trójkąta.

[Htorb]

Trójkąt \(\displaystyle{ DPM}\) jest podobny do \(\displaystyle{ APB}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), bo \(\displaystyle{ 2DM=AB}\) i ,ponieważ to jest równoległobok więc odpowiednie kąty są równe. Z tego otrzymujesz to co napisałaś, że \(\displaystyle{ 4[DPM]=[APB]}\), albo łatwiej, że \(\displaystyle{ \frac{DP}{PB}= \frac{1}{2}}\). Dalej już prosto wyliczyć stosunek pola różowego do całego równoległoboku .

[edzia96]

Ok. Dziękuję. Udało mi się to zrobić Pewnie trochę okrężną drogą no ale zrobiłam:

Wprowadziłam kolejne oznaczenia:
h1- wysokość DMP
h2- wysokość ABP
(wiadome, że h1+h2=h)

Obliczyłam Pole DBC:
\(\displaystyle{ \frac{2x*(h1+h2)}{2}= 2*\frac{xh1}{2} + \frac{2x*h2}{2}}\)
wiedząc, że \(\displaystyle{ 2*\frac{xh1}{2}}\) to Pole DPM i wiedząc, że jest one równe P,
a także, że \(\displaystyle{ \frac{2x*h2}{2}}\) to pole ABP i jest równe 4P, podstawiłam i wyszło P DBC=6P

P ABPC=6P + 4P-2P = 8P
P ABCD=2*6P = 12P
no i obliczyłam stosunek 8P do 12P i wyszło 2/3.

To jest najszybszy sposób? Czy da się szybciej?

[Htorb]

Jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ \frac{DP}{PB}= \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{PB}{BD}= \frac{2}{3}}\), a to również stosunek naszych pól

[edzia96]

to 2/3 udało mi się wcześniej zauważyć (jak poprowadziłam drugą przekątną), ale całkiem nie pomyślałabym, że może to być ten stosunek.