trojkat rownoramienny i okrag
- Lyzka
- Użytkownik
- Posty: 516
- Rejestracja: 3 lis 2013, o 21:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 168 razy
trojkat rownoramienny i okrag
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 30 cm, a ramię 25 cm. Środek podstawy tego trójkąta jest środkiem okręgu stycznego do ramion trójkąta. Oblicz długość promienia tego okręgu.-- 21 lis 2013, o 17:07 --moze mi ktos powiedziec dlaczego kat DFC ma 90 stopni ?
... jkacie.jpg
... jkacie.jpg
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 13 lis 2013, o 14:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
trojkat rownoramienny i okrag
Bo promień okręgu poprowadzony do punktu styczności stycznej z okręgiem tworzy z nią kąt prosty.Lyzka pisze:
moze mi ktos powiedziec dlaczego kat DFC ma 90 stopni ?
... jkacie.jpg
Promień okręgu policzysz z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ CDF}\).
Ostatnio zmieniony 21 lis 2013, o 17:15 przez SRV, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 13 lis 2013, o 14:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
trojkat rownoramienny i okrag
Nie musisz tego udowadniać. To, że promień jest prostopadły do stycznej w punkcie jej styczności z okręgiem jest znaną własnością okręgu.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
trojkat rownoramienny i okrag
Można udowodnić.
Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{r}=[r\cos x,r\sin x]}\) jest wektorem promienia danego okręgu, a \(\displaystyle{ (r\cos x,r\sin x)}\) jest punktem, w którym szukamy stycznej, to tastyczna ma kierunek wyznaczony przez wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[-r\sin x, r\cos x]}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \vec{r}\cdot \vec{v} =0}\) a więc istotnie prosta zawierająca promień i prosta zawierająca styczną są prostopadłe.
Wybaczcie, ale nie chciało mi się myśleć nad dowodem geometrycznym.
Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{r}=[r\cos x,r\sin x]}\) jest wektorem promienia danego okręgu, a \(\displaystyle{ (r\cos x,r\sin x)}\) jest punktem, w którym szukamy stycznej, to tastyczna ma kierunek wyznaczony przez wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[-r\sin x, r\cos x]}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \vec{r}\cdot \vec{v} =0}\) a więc istotnie prosta zawierająca promień i prosta zawierająca styczną są prostopadłe.
Wybaczcie, ale nie chciało mi się myśleć nad dowodem geometrycznym.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
trojkat rownoramienny i okrag
Ja podam dowód geometryczny. Z założenia mamy, że prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Zauważmy, że każdy inny punkt tej prostej leży poza kołem, gdyż w przeciwnym przypadku prosta miałaby dwa punkty wspólne z okręgiem. Oznacza to, że odległość każdego punktu tej prostej poza punktem styczności od środka okręgu jest większa od promienia i równa promieniowi w punkcie styczności. Powołamy się teraz na taką własność:
Jeśli \(\displaystyle{ A'}\) jest rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), to odległość dowolnego punktu prostej \(\displaystyle{ l}\) od punktu \(\displaystyle{ A}\) jest większa bądź równa od długości odcinka \(\displaystyle{ A'A}\) (dokładniej mówiąc jest ostro większa poza punktem \(\displaystyle{ A'}\)).
Łatwo zauważyć, że na prostej może być tylko jeden punkt o takiej własności. Wniosek: Punkt styczności jest rzutem prostopadłym środka na tę prostą.
Jeśli \(\displaystyle{ A'}\) jest rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), to odległość dowolnego punktu prostej \(\displaystyle{ l}\) od punktu \(\displaystyle{ A}\) jest większa bądź równa od długości odcinka \(\displaystyle{ A'A}\) (dokładniej mówiąc jest ostro większa poza punktem \(\displaystyle{ A'}\)).
Łatwo zauważyć, że na prostej może być tylko jeden punkt o takiej własności. Wniosek: Punkt styczności jest rzutem prostopadłym środka na tę prostą.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
trojkat rownoramienny i okrag
Rozpiszę to dokładniej. Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu, \(\displaystyle{ l}\) będzie prostą styczną oraz \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem styczności. Ponadto niech \(\displaystyle{ A}\) będzie rzutem prostopadłym punktu \(\displaystyle{ O}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Pokażę, że \(\displaystyle{ A=P}\).
W poprzednim poście pokazałem, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ M\in l, M\neq P}\) zachodzi \(\displaystyle{ OM>OP=r}\).
Z drugiej strony z własności rzutu prostopadłego dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ N\in l, N\neq A}\) zachodzi \(\displaystyle{ ON>OA}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A\neq P}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ OA>OP}\) i \(\displaystyle{ OP>OA}\), co jest sprzecznością.
W poprzednim poście pokazałem, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ M\in l, M\neq P}\) zachodzi \(\displaystyle{ OM>OP=r}\).
Z drugiej strony z własności rzutu prostopadłego dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ N\in l, N\neq A}\) zachodzi \(\displaystyle{ ON>OA}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A\neq P}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ OA>OP}\) i \(\displaystyle{ OP>OA}\), co jest sprzecznością.