Okrąg dopisany

[niunix98]

Szczerze mówiąc to nie pamiętam już dokładnie, ale coś mi podpowiada, że jest to po prostu warunek na istnienie okręgu dopisanego do czworokąta (zupełnie analogiczny do warunku na istnienie okręgu wpisanego).-- 9 gru 2018, o 22:14 --Już wszystko wiem. Wydaje mi się, że problemem jest fakt, że nie każdy wie, czym jest okrąg dopisany do czworokąta. Otóż jeżeli mamy czworokąt zupełny \(\displaystyle{ (ABCD;EF)}\) to okręgiem dopisanym do czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) nazwiemy okrąg styczny do prostych \(\displaystyle{ AB, AD, CE, CF}\) (przy założeniu, że punkty \(\displaystyle{ E,F}\) znajdują się odpowiednio półprostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ AB}\)). Zauważmy, że istnieje okrąg dopisany do czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ AB + BC = CD + DA}\). Pokażę dowód w jedną stronę, poprowadzenie implikacji w drugą stronę nie jest trudne.

Dowód:    

AU

46198527072_e78b87e0de.jpg (14.28 KiB) Przejrzano 66 razy

[/url]

Punkty definiujemy jak na obrazku. Założmy, że istnieje okrąg dopisany do czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). Wtedy \(\displaystyle{ TB = BY \Rightarrow TF + BF = BC + CY}\)
\(\displaystyle{ DZ = DX \Rightarrow DE + EZ = DC + CX \Rightarrow DE + EZ = DC + CY}\).
Odejmując dwie ostatnie równości stronami dostaniemy: \(\displaystyle{ (TF + BF) - (DE + EZ) = BC - CD \Rightarrow (AT - AB) - (AZ - AD) = BC - CD \Rightarrow (AT - AB) - (AT - AD) = BC - CD \Rightarrow AD - AB = BC - CD \Rightarrow AB + BC = AD + CD}\).

W takim razie teza zadania jest jak najbardziej prawdziwa, a dowód, który przedstawiłem pół roku temu poprawny