Okrąg dopisany

[Tom320]

Punkt \(\displaystyle{ J}\) jest środkiem okręgu dopisanego do czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykazać, ze punkt \(\displaystyle{ J}\) oraz środki przekątnych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) leżą na jednej prostej.

[mortan517]

Jeżeli szukasz tylko rozwiązania jest to twierdzenie Newtona.

[Tom320]

Masz rację, jest to twierdzenie Newtona, ale mnie interesuje dowód, którego nigdzie nie mogę znaleźć sam też nie jestem w stanie dojść do tego

[Ponewor]

Co to jest okrąg dopisany do czworokąta?

[mortan517]

Zapewne chodzi o okrąg wpisany w czworokąt.

[Htorb]

Co to jest okrąg dopisany do czworokąta?

Tu można powiedzieć, że są to okręgi dopisane do czworokąta. Ale to nie zmienia faktu, ze autorowi postu chodziło o okrąg wpisany.

[timon92]

okrąg dopisany do wielokąta to okrąg leżący poza wielokątem, który jest styczny do każdej z prostych zawierających któryś bok wielokąta

a zadanie sformułowane jest poprawnie - chodzi o okrąg dopisany (dla okręgu wpisanego teza też działa)

pozdro

~~~~~~~~
poprawione, dzięki

[Ponewor]

jakiego trójkąta?

+nie umiem znaleźć takiego sformułowania twierdzenia Newtona, które mówiło by o okręgu dopisanyn.

[Htorb]

Tutaj chodziło chyba o ogólna definicje okręgu dopisanego, wg. tej definicji okrąg wpisany uchodzi jako okrąg dopisany. Nie oznacza to, że dla każdego okręgu dopisanego dział tw. Newtona, ale jednego owszem- okręgu wpisanego. Trochę to zagmatwane, ale trudno. Jak ktoś zrozumie to dobrze

[Ponewor]

Raczej nie uchodzi, bo na samym początku tego co pisał timon92 jest, że leży poza wielokątem.

[Htorb]

Chyba to trochę przekombinowane zdania 1 i ostatnie wzajemnie się wykluczają. Jednak w zadaniu na 90% chodzi o tylko okrąg wpisany.


A odnośnie samego zadania, to możesz udowodnić, że dla czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) i punktu \(\displaystyle{ X}\) leżącego wewnątrz niego: \(\displaystyle{ [ABX]+[CDX]=[BCX]+[DAX]}\)wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) należy do prostej przechodzącej przez środki przekątnych (Léon Anne's Theorem).

[niunix98]

Cześć, akurat robię to zadanie, więc stwierdziłem, że nie będę zakładał nowego tematu. Próbowałem robić na pola skierowane. Niech naszym czworokątem wypukłym będzie ABCD, a promieniem okręgu dopisanego - r. Wtedy zachodzi równość:

\(\displaystyle{ S(ABK) + S(CDK) = S(ABL) + S(CDL) = \frac{1}{2} [ABCD]}\), co jest powszechnie znanym faktem (jeżeli ktoś go nie zna, mogę potem napisać do niego dowód). Teraz wystarczy pokazać, że również
\(\displaystyle{ S(ABJ) + S(CDJ) = \frac{1}{2} [ABCD] \Leftrightarrow
[ABJ] - [CDJ] = \frac{1}{2} [ABCD] \Leftrightarrow
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot r - \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r = \frac{1}{2} [ABCD] \Leftrightarrow
\frac{1}{2} \cdot r(AB - CD) = \frac{1}{2} \cdot [ABCD] \Leftrightarrow
r(AB-CD) = [ABCD]}\).

Nie wiem teraz jak to pokazać, a zrobienie tego kończy nam zadanie. Pomocy

Próbowałem też dodać punkty przecięcia \(\displaystyle{ Q = BC \cap AD}\) i \(\displaystyle{ P = AB \cap CD}\) oraz punkty styczności okręgu z prostymi \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\) (kolejno \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\)), a następnie rozpisywać warunek na okrąg dopisany, tzn. \(\displaystyle{ BP + PD = DQ + QB}\), ale bez skutku.-- 23 maja 2018, o 19:49 --Mam rozwiązanie. Zaczynamy jak poprzednio:
\(\displaystyle{ S(ABK) + S(CDK) = S(ABL) + S(CDL) = \frac{1}{2} [ABCD]}\)
Ale skoro ten okrąg jest dopisany to dostajemy ciąg równości:
\(\displaystyle{ AB + BC = CD + DA \Leftrightarrow
AB - CD = DA - BC \Leftrightarrow
[ABJ] - [CDJ] = [DAJ] - [BCJ]}\)
Ale:
\(\displaystyle{ [ABCD] = S(ABCD) = S(ABJ) + S(BCJ) + S(CDJ) + S(DAJ) = [ABJ] - [BCJ] - [CDJ] + [DAJ] = 2([ABJ] - [CDJ])}\).
Stąd: \(\displaystyle{ [ABJ] - [CDJ] = \frac{1}{2} [ABCD]}\). CNU

[max123321]

Okej, ale w tym dowodzie skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ S(ABCD) = S(ABJ) + S(BCJ) + S(CDJ) + S(DAJ)}\) ?

[niunix98]

max123321, to jest podstawowa własność pól skierowanych: wartość \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} S( A_{i} A_{i+1} X)}\) (gdzie \(\displaystyle{ A_{n+1} = A_{1}}\)), nie zależy od wyboru X.

Dowód:    

Indukcja
\(\displaystyle{ n=3}\): Rozważmy dodatnio zorientowany \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i trzy przypadki:
\(\displaystyle{ \alpha )}\) \(\displaystyle{ X}\) leży wewnątrz trójkąta. Oczywiste
\(\displaystyle{ \beta )}\) \(\displaystyle{ X}\) leży w którymś z obszarów naprzeciwko wierzchołka trójkąta. Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ X}\) leży w obszarze wyznaczonym przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wtedy
\(\displaystyle{ S(ABX) + S(BCX) + S(CAX) = -[ABX] + [BCX] - [CAX] = [ABC] = S(ABC)}\)

\(\displaystyle{ \gamma )}\) \(\displaystyle{ X}\) leży w obszarze wyznaczonym przez kąt wewnętrzny trójkąta, ale na zewnątrz samego trójkąta. BSO na przeciwko wierzchołka B. Wtedy
\(\displaystyle{ S(ABX) + S(BCX) + S(CAX) = [ABX] + [BCX] - [CAX] = [ABC] = S(ABC)}\).
To kończy dowód podstawy indukcji.

Zakładamy więc dla ustalonego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\): \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} S( A_{i} A_{i+1} X)}\) nie zależy od wyboru \(\displaystyle{ X}\).
Teza: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} S( A_{i} A_{i+1} X)}\) nie zależy od wyboru \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} S( A_{i} A_{i+1} X) = \sum_{i=1}^{n-1} S( A_{i} A_{i+1} X)
+ S( A_{n} A_{n+1} X) + S( A_{n+1} A_{1} X) = ( \sum_{i=1}^{n-1} S( A_{i} A_{i+1} X) + S( A_{n} A_{1} X)) + S( A_{n} A_{n+1} X) + S( A_{n+1} A_{1} X) - S( A_{n} A_{1} X) = ( \sum_{i=1}^{n-1} S( A_{i} A_{i+1} X) + S( A_{n} A_{1} X)) + (S( A_{n} A_{n+1} X) + S( A_{n+1} A_{1} X) + S( A_{1} A_{n} X))}\).

Pierwszy nawias niezależny od \(\displaystyle{ X}\) z założenia indukcyjnego, drugi - oczywiste z podstawy indukcji.

[max123321]

No ok, rozumiem, a skąd jeszcze jest równość \(\displaystyle{ AB+BC=CD+DA}\) ?