W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB, do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB, jeśli |AB|=2R.
Nie mogę znaleźć sposobu na to zadanie, gdyby ktoś miał to bardzo proszę o wskazówki.
Okrąg styczny do półokręgu
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Okrąg styczny do półokręgu
r - szukany promień,
Środek odcinka AB , środek okręgu stycznego do AB w środku tego odcinka , środek okręgu, którego szukamy promienia oraz jego punkt styczności z AB, tworzą trapez prostokątny. Jego podstawami są r oraz \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) ,
ramię nieprostopadłe do podstaw \(\displaystyle{ \frac{R}{2}+r}\).
Niech h oznacza wysokość tego trapezu. Wówczas:
\(\displaystyle{ h^2+r^2=(R-r)^2 \\ h^2+(\frac{R}{2}-r)^2=(r+\frac{R}{2})^2}\)
Z powyższego układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r=\frac{R^2}{4R}}\)
Środek odcinka AB , środek okręgu stycznego do AB w środku tego odcinka , środek okręgu, którego szukamy promienia oraz jego punkt styczności z AB, tworzą trapez prostokątny. Jego podstawami są r oraz \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) ,
ramię nieprostopadłe do podstaw \(\displaystyle{ \frac{R}{2}+r}\).
Niech h oznacza wysokość tego trapezu. Wówczas:
\(\displaystyle{ h^2+r^2=(R-r)^2 \\ h^2+(\frac{R}{2}-r)^2=(r+\frac{R}{2})^2}\)
Z powyższego układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ r=\frac{R^2}{4R}}\)