Oszacowanie sumy długości przekątnych w czworokącie.

Lyzka · Post autor: **Lyzka** » 3 lis 2013, o 21:21

Najkrótszy bok czworokąta wypukłego ma długość a. Wykaż, że suma długości przekątnych czworokąta jest większa od 2a.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 3 lis 2013, o 21:40

Skorzystaj z nierówności trójkąta.

Lyzka · Post autor: **Lyzka** » 3 lis 2013, o 21:50

cos nie wychodzi ;/

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 3 lis 2013, o 21:54

Edit.
Lepiej udowodnić tak:
\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - boki czworokąta
\(\displaystyle{ e,f}\) - przekątne
Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na odcinki \(\displaystyle{ e _{1},e _{2},f _{1},f _{2}}\)

Piszemy cztery nierówności trójkąta dla kaźdego boku tak,żeby po lewej był bok a po prawej suma odpowiednich fragmentów obu przekątnych. Potem dodajemy te nierówności stronami i dostajemy:

\(\displaystyle{ a+b+c+d \le 2(e+f)}\)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ a}\) jest najkrótszym bokiem, więc

\(\displaystyle{ 4a \le a+b+c+d \le 2(e+f)}\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2a \le e+f}\)