JungleMan pisze:
\(\displaystyle{ l = k - \ ctg \alpha}\)
A raczej \(\displaystyle{ l = k -a \ ctg \alpha}\)
Równanie rózniczkuję (liczę pochodną) po zmiennej \(\displaystyle{ \alpha}\)
(1) \(\displaystyle{ l ^{'} _{ \alpha } =\left( k -a \ ctg \alpha\right) ^{'} _{ \alpha }}\)
Pochodna ze stałej k to zero \(\displaystyle{ \left(\ ctg \alpha\right) ^{'} _{ \alpha }= \frac{-1}{sin ^{2} \alpha }}\)
A fizycy zamiast zapisu \(\displaystyle{ l ^{'} _{ \alpha }}\) wolą zapis \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}l}{ \mbox{d} \alpha }}\)
stąd wynik równania (1) \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}l}{ \mbox{d} \alpha }=0-a\frac{-1}{sin ^{2} \alpha }}\)
co daje Twój wynik \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}l}{ \mbox{d} \alpha }=\frac{a}{sin ^{2} \alpha }}\)
2. Długość łuku jest proporcjonalna do kąta środkowego \(\displaystyle{ l~ \approx \alpha}\)
a cały obwód odpowiada kątowi pełnemu (w radianach) \(\displaystyle{ 2 \pi R \approx 2 \pi}\)
(Zamaist podójnej fali powinna być pojedyńcza ale nie znam jej kodu w tym edytorze)
Stąd z proporcji (mnożąc na krzyż) masz \(\displaystyle{ l \cdot 2 \pi = \alpha \cdot 2 \pi R}\) \(\displaystyle{ l= \alpha R}\)
W tójkącie równoramiennym którego ramiona wynoszą R, a kąt środkowy \(\displaystyle{ \alpha}\)
pozostałe dwa kąty ( \(\displaystyle{ \beta}\) )są równe . \(\displaystyle{ \alpha= \pi -2 \beta}\)
stąd \(\displaystyle{ l= \alpha R=\left( \pi -2 \beta \right) R}\)
Różniczkując równanie \(\displaystyle{ l= \pi R -2 \beta R}\) po zmiennej \(\displaystyle{ \beta}\) masz \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}l}{ \mbox{d} \beta } =-2R}\)
i stąd wynik \(\displaystyle{ \mbox{d}l=-2R \mbox{d}B}\)
