Okrąg w okręgu. Wyliczenie promienia i położenia środka

[kruszewski]

Nie pytając o wanienkę, kąpielowego i tp co tu byłoby niegrzecznością, pozwolę sobie przypomnieć Koledze Mściwojowi moją prośbę.
Proszę o rysunek.
Bo jak pisze:
"Jak widać są dwa rozwiązania." To mam wątpliwości co do tego, czy mówimy o tym samym.
Jak można na trzech punktach położyć dwa różne okręgi? Stąd moja prośba.
W.Kr.
PS. Ja dowierzam Apoloniuszowi, Archimedesowi i geometrii platońskiej.

[pawelvod]

Mamy dwa punkty. Ten trzeci (5cm) można ustawić na dwa sposoby.

[kruszewski]

Proszę mi to narysować. Słabo dziś widzę.
Jeżeli jest mowa o trzech danych punktach, to jest chyba jednoznacznie powiedziane, że mamy trzy punkty dane ich współrzędnymi. Zatem te trzy a nie inne .
W.Kr.

[Msciwoj]

Na wstępie przepraszam za niezbyt grzeczną poprzednią wypowiedź, było to spowodowane późną (a raczej już wczesną) porą. Nie będę edytował poprzedniego posta, bo chcę, żeby pozostał nieedytowany, taki jak był.

Aby rozwiązać zadanie, opisujemy wszystko układem równań. Ten układ równań może mieć z różnych powodów więcej niż jedno rozwiązanie, oczywiste jest jednak, że na danych trzech punktach można położyć tylko jeden okrąg. Dlatego właśnie na końcu rozwiązania wybieram to rozwiązanie, które faktycznie odnosi się do naszej sytuacji.

Z czego wynika to, że są dwa rozwiązania? Polecam wykonać następujące zadanie: mamy daną prostą, punkt na niej nieleżący i pewną długość. Mamy znaleźć punkt taki, że należy on do tej prostej i jego odległość od danego punktu jest równa tej długości. Jak to robimy? Rysujemy okrąg o środku w tym punkcie i o promieniu równym danej długości. Może on przeciąć prostą w dwóch, jednym albo zero punktach. Oznacza to, że możemy mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Drugie rozwiązanie jest to jakiś okrąg przechodzący przez A i B, i taki, że odległość od jego środka do środka okręgu będącego wanną wynosi \(\displaystyle{ R - 1,55}\), ale jego środek, środek okręgu będącego wanną i punkt w którym dwa okręgi są najbliższe nie leżą na jednej prostej. Dlatego właśnie nie jest to rozwiązanie naszego zadania.

Często przy rozwiązywaniu zadań wychodzi z równań matematycznych więcej niż jedno rozwiązanie, my jednak wiemy, że sytuacja jest w pełni zdeterminowana i rozwiązanie zawsze będzie dokładnie jedno. Wtedy musimy w jakiś sposób (np. powołując się na warunki brzegowe) wybrać jedno z rozwiązań.
Prosty przykład: Jacek kopie piłkę pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) do poziomu, z prędkością początkową \(\displaystyle{ u}\). Hala sportowa, w której znajduje się Jacek, ma wysokość \(\displaystyle{ h}\). Jacek kopnął piłkę tak mocno, że doleciała ona do sufitu hali i uderzyła w niego. Jaką odległość w poziomie przebyła piłka przed uderzeniem w sufit?

Rozwiązując równania ruchu piłki (poziom liceum), uzyskujemy dwa rozwiązania. Nie jest to nic dziwnego - prędkość początkowa i kąt wyznaczają nam trajektorię lotu piłki. Poza tym, jedyną daną jaką mamy jest wysokość hali. Szukamy więc takiego momentu ruchu piłki, w którym znajduje się ona na danej wysokości nad ziemią. Gdyby hala nie miała sufitu, piłka po pewnym czasie zaczęłaby spadać i znowu znalazłaby się na wysokości \(\displaystyle{ h}\). Wynika z tego, że interesuje nas mniejsze rozwiązanie, bo ono odpowiada sytuacji, w której piłka dolatuje na daną wysokość od dołu, czyli uderza w sufit.
Zauważmy, że gdyby treść zadania była: Jacek kopnął piłkę tak, że uderzyła ona w płaski dach domu jego sąsiada, który ma wysokość \(\displaystyle{ h}\), z dwóch rozwiązań interesowałoby nas to, które jest większe, bowiem ono odpowiada sytuacji, w której piłka dolatuje na daną wysokość od góry (spadając).

Tak samo jest tutaj. Równania są takie, że wychodzą dwa rozwiązania, jedno z nich jednakowoż opisuje zupełnie inną sytuację i nas nie interesuje. Możemy stwierdzić, które jest poprawne np. poprzez porównanie z poprzednim zadaniem lub wykonanie rysunku.

Jeszcze jedna sprawa: punkt C nie jest dany współrzędnymi. On się gdzieś znajduje, ale nie wiemy dokładnie, gdzie. Można to oczywiście policzyć, tym niemniej nie trzeba. jedyne, co o nim wiemy, to to, że należy do większego okręgu i minimalizuje odległość między okręgami, która to minimalna odległość wynosi 5 cm.

[pawelvod]

Ok.
To żeby utrudnić;-)
Łuk i wanna wyznaczą figurę o kształcie takiego sierpu. Jako że z wanny może wylewać się woda chciałbym zeby powstała figura na swoim środku (tym przewężeniu 5cm) była niżej o 3cm niż na brzegach (30 i 25cm)... Czy dalej łuki bedą fragmentami okręgów czy już elipsy trzeba by rysować?

[kruszewski]

Elips.-- 27 paź 2013, o 17:23 --Geometrycznie bez programów:
... m0hb6t5O7E
W.Kr.