Długości boków równoległoboku

[hadzne]

Obwód równoległoboku ABCD jest równy 18,
\(\displaystyle{ \left| AC\right| = 9;\left| BD\right| = \sqrt{33}}\)
Oblicz długości boków równoległoboku.

[gus]

\(\displaystyle{ \frac{d _{1} ^{2}+ d _{2} ^{2} }{2}=a ^{2} + b ^{2}}\)

Użyj tego wzoru.

[lukasz1804]

Równość podana przez gus jest konsekwencją twierdzenia kosinusów i wzoru redukcyjnego.

Dokładniejsza wskazówka:    

Oznaczając przez \(\displaystyle{ x,y}\) długości nierównoległych boków równoległoboku, przez \(\displaystyle{ \alpha}\) miarę kąta ostrego, na podstawie założenia i twierdzenia kosinusów dostajemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 81=x^2+y^2-2xy\cos(\pi-\alpha) \\ 33=x^2+y^2-2xy\cos\alpha \\ 2x+2y=18 \end{cases}}\). Spróbuj wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y}\).

[hadzne]

Wychodzą piękne liczby\(\displaystyle{ x= \frac{9- \sqrt{33} }{2} \wedge y= \frac{9+ \sqrt{33} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{9+ \sqrt{33} }{2} \wedge y= \frac{9- \sqrt{33} }{2}}\)
Dzięki lukasz1804 za sposób i gus za wzorek