Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Cjineq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 wrz 2013, o 14:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Cjineq »

1. Dany jest trapez o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Kąty ostre trapezu mają miary \(\displaystyle{ 60°}\) i \(\displaystyle{ 30°}\). Krótsza postawa ma długość równą długości krótszego ramienia, krótsza przekątna ma długość równą długości dłuższego ramienia równą \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz pole trapezu

2. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AB\right|=8}\) . \(\displaystyle{ \left| AC\right|=6}\) . Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ CAB}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) takim, że \(\displaystyle{ \left| AD\right| = \left| DB\right|}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ BC}\).

3. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AC\right|=16}\) , \(\displaystyle{ \left| BC\right|=18}\) . Odcinek dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ACB}\) zawarty w trójkącie ma długość \(\displaystyle{ 12}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\).

4. W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) poprowadzono odcinki \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) prostopadłe do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) \(\displaystyle{ (E, F \in AC)}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| AD\right|=2}\) , \(\displaystyle{ \left| AF\right|=\left| EF\right|=\left| FC\right|}\).

5. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ 60°}\). Stosunek długości przekątnych równoległoboku jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\). Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.

6. Długość ramion trapezu opisanego na okręgu są równe: \(\displaystyle{ c = 4, d = 8.}\) Środkowa trapezu dzieli go na dwa trapezy, z których mniejszy ma pole trzy razy mniejsze od pola danego trapezu. Wyznacz długości podstaw danego trapezu.

7. Dane są dwa okręgi zewnętrzne styczne o różnych promieniach. Poprowadzono dwie wspólne styczne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) do tych okręgów (okręgi znajdują się po jednej stronie każdego ze stycznych), które przecięły się pod kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

8. Wykaż, że trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 10, 6, 14}\)jest rozwartokątny. Wyznacz największy kąt tego trójkąta.

9. Obwód prostokąta jest równy \(\displaystyle{ 20}\). Wyznacz długości boków tak, aby ten prostokąt miał najkrótszą
przekątną.

10. Dany jest kwadrat: \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku a. Wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) połączono ze środkiem \(\displaystyle{ E}\) boku \(\displaystyle{ BC}\). Odcinek \(\displaystyle{ AE}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Oblicz dokładną długość odcinka \(\displaystyle{ BF}\).

Proszę o jakiekolwiek rozwiązanie zadania, to mi uratuje życie.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2013, o 15:48 przez Ponewor, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex][/latex].
macik1423
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 875
Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: R do M
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 234 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: macik1423 »

1.

Z własności trójkąta \(\displaystyle{ 30^{o},60^{o},90^{o}}\) obliczamy \(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{a \sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |FB|= \frac{4 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |EF|=a=\frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= \frac{1}{2}a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: wujomaro »

8. Zastosuj tw. cosinusów.
Pozdrawiam!
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: piasek101 »

9) \(\displaystyle{ x+b=10}\) oraz \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+b^2}}\) z pierwszego wyznaczyć np (b), wstawić do drugiego, szukać minimum \(\displaystyle{ d(x)}\).
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Kartezjusz »

2.Jakim punktem wobec boku \(\displaystyle{ AB}\)jest punkt \(\displaystyle{ D}\),a czym jest prosta \(\displaystyle{ AD}\) w związku z tym.
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 241 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Gouranga »

10. możesz próbować też coś z trygonometrią, choćby \(\displaystyle{ \tg {FAB} = \frac{1}{2}}\), stąd masz jak obliczyć kąt \(\displaystyle{ AFB}\) i w tym właśnie trójkącie wszystko rozpatrywać
można się też pokusić o wstawienie tego w układ wspólrzędnych i opisanie punktu \(\displaystyle{ F}\) jako punktu przecięcia dwóch prostych:
\(\displaystyle{ AE: y = \frac{1}{2}x\\
BD: y = -x + a}\)

i mając jakieś \(\displaystyle{ x_F, y_F}\) z tego układu z podobieństwa trójkątów zauważyć
\(\displaystyle{ \frac{y_F}{x_F} = \tg{FAB} = \frac{1}{2}}\)
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Kartezjusz »

3.Ułóż równanie z trzykrotnie zastosowanego twierdzenia cosinusów na kąt ACB. Jak go już dostaniesz, to jeszcze raz zastosuj tw cosinusów, aby otrzymać kąt.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Ponewor »

Co to jest kąt \(\displaystyle{ 2}\) w zadaniu siódmym?
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: wujomaro »

Ponewor, popatrz na nieudany zapis w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.
Chodziło o kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\)
Pozdrawiam!
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Planimetria zestaw poziom rozszerzony

Post autor: Kartezjusz »

4.. Narysuj sobie wszystko porządnie. Oznacz \(\displaystyle{ |AE|=x}\). Wówczas na mocy podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ADC}\) i\(\displaystyle{ ADE}\)mamy równanie.
Reszta idzie jak z płatka
ODPOWIEDZ