Planimetria zestaw poziom rozszerzony
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
1. Dany jest trapez o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Kąty ostre trapezu mają miary \(\displaystyle{ 60°}\) i \(\displaystyle{ 30°}\). Krótsza postawa ma długość równą długości krótszego ramienia, krótsza przekątna ma długość równą długości dłuższego ramienia równą \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz pole trapezu
2. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AB\right|=8}\) . \(\displaystyle{ \left| AC\right|=6}\) . Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ CAB}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) takim, że \(\displaystyle{ \left| AD\right| = \left| DB\right|}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ BC}\).
3. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AC\right|=16}\) , \(\displaystyle{ \left| BC\right|=18}\) . Odcinek dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ACB}\) zawarty w trójkącie ma długość \(\displaystyle{ 12}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\).
4. W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) poprowadzono odcinki \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) prostopadłe do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) \(\displaystyle{ (E, F \in AC)}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| AD\right|=2}\) , \(\displaystyle{ \left| AF\right|=\left| EF\right|=\left| FC\right|}\).
5. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ 60°}\). Stosunek długości przekątnych równoległoboku jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\). Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.
6. Długość ramion trapezu opisanego na okręgu są równe: \(\displaystyle{ c = 4, d = 8.}\) Środkowa trapezu dzieli go na dwa trapezy, z których mniejszy ma pole trzy razy mniejsze od pola danego trapezu. Wyznacz długości podstaw danego trapezu.
7. Dane są dwa okręgi zewnętrzne styczne o różnych promieniach. Poprowadzono dwie wspólne styczne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) do tych okręgów (okręgi znajdują się po jednej stronie każdego ze stycznych), które przecięły się pod kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.
8. Wykaż, że trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 10, 6, 14}\)jest rozwartokątny. Wyznacz największy kąt tego trójkąta.
9. Obwód prostokąta jest równy \(\displaystyle{ 20}\). Wyznacz długości boków tak, aby ten prostokąt miał najkrótszą
przekątną.
10. Dany jest kwadrat: \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku a. Wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) połączono ze środkiem \(\displaystyle{ E}\) boku \(\displaystyle{ BC}\). Odcinek \(\displaystyle{ AE}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Oblicz dokładną długość odcinka \(\displaystyle{ BF}\).
Proszę o jakiekolwiek rozwiązanie zadania, to mi uratuje życie.
2. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AB\right|=8}\) . \(\displaystyle{ \left| AC\right|=6}\) . Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ CAB}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) takim, że \(\displaystyle{ \left| AD\right| = \left| DB\right|}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ BC}\).
3. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \left| AC\right|=16}\) , \(\displaystyle{ \left| BC\right|=18}\) . Odcinek dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ ACB}\) zawarty w trójkącie ma długość \(\displaystyle{ 12}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\).
4. W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) poprowadzono odcinki \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) prostopadłe do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) \(\displaystyle{ (E, F \in AC)}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ AB}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \left| AD\right|=2}\) , \(\displaystyle{ \left| AF\right|=\left| EF\right|=\left| FC\right|}\).
5. Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ 60°}\). Stosunek długości przekątnych równoległoboku jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\). Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.
6. Długość ramion trapezu opisanego na okręgu są równe: \(\displaystyle{ c = 4, d = 8.}\) Środkowa trapezu dzieli go na dwa trapezy, z których mniejszy ma pole trzy razy mniejsze od pola danego trapezu. Wyznacz długości podstaw danego trapezu.
7. Dane są dwa okręgi zewnętrzne styczne o różnych promieniach. Poprowadzono dwie wspólne styczne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) do tych okręgów (okręgi znajdują się po jednej stronie każdego ze stycznych), które przecięły się pod kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.
8. Wykaż, że trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 10, 6, 14}\)jest rozwartokątny. Wyznacz największy kąt tego trójkąta.
9. Obwód prostokąta jest równy \(\displaystyle{ 20}\). Wyznacz długości boków tak, aby ten prostokąt miał najkrótszą
przekątną.
10. Dany jest kwadrat: \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku a. Wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) połączono ze środkiem \(\displaystyle{ E}\) boku \(\displaystyle{ BC}\). Odcinek \(\displaystyle{ AE}\) przecina przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Oblicz dokładną długość odcinka \(\displaystyle{ BF}\).
Proszę o jakiekolwiek rozwiązanie zadania, to mi uratuje życie.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2013, o 15:48 przez Ponewor, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex][/latex] .
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 875
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R do M
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 234 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
1.
Z własności trójkąta \(\displaystyle{ 30^{o},60^{o},90^{o}}\) obliczamy \(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{a \sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |FB|= \frac{4 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |EF|=a=\frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= \frac{1}{2}a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)
Z własności trójkąta \(\displaystyle{ 30^{o},60^{o},90^{o}}\) obliczamy \(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{a \sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |FB|= \frac{4 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |EF|=a=\frac{4 \sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= \frac{1}{2}a= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
9) \(\displaystyle{ x+b=10}\) oraz \(\displaystyle{ d=\sqrt{x^2+b^2}}\) z pierwszego wyznaczyć np (b), wstawić do drugiego, szukać minimum \(\displaystyle{ d(x)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
2.Jakim punktem wobec boku \(\displaystyle{ AB}\)jest punkt \(\displaystyle{ D}\),a czym jest prosta \(\displaystyle{ AD}\) w związku z tym.
-
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 241 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
10. możesz próbować też coś z trygonometrią, choćby \(\displaystyle{ \tg {FAB} = \frac{1}{2}}\), stąd masz jak obliczyć kąt \(\displaystyle{ AFB}\) i w tym właśnie trójkącie wszystko rozpatrywać
można się też pokusić o wstawienie tego w układ wspólrzędnych i opisanie punktu \(\displaystyle{ F}\) jako punktu przecięcia dwóch prostych:
\(\displaystyle{ AE: y = \frac{1}{2}x\\
BD: y = -x + a}\)
i mając jakieś \(\displaystyle{ x_F, y_F}\) z tego układu z podobieństwa trójkątów zauważyć
\(\displaystyle{ \frac{y_F}{x_F} = \tg{FAB} = \frac{1}{2}}\)
można się też pokusić o wstawienie tego w układ wspólrzędnych i opisanie punktu \(\displaystyle{ F}\) jako punktu przecięcia dwóch prostych:
\(\displaystyle{ AE: y = \frac{1}{2}x\\
BD: y = -x + a}\)
i mając jakieś \(\displaystyle{ x_F, y_F}\) z tego układu z podobieństwa trójkątów zauważyć
\(\displaystyle{ \frac{y_F}{x_F} = \tg{FAB} = \frac{1}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
3.Ułóż równanie z trzykrotnie zastosowanego twierdzenia cosinusów na kąt ACB. Jak go już dostaniesz, to jeszcze raz zastosuj tw cosinusów, aby otrzymać kąt.
- wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
Ponewor, popatrz na nieudany zapis w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.
Chodziło o kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\)
Pozdrawiam!
Chodziło o kąt \(\displaystyle{ 2 \alpha}\)
Pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Planimetria zestaw poziom rozszerzony
4.. Narysuj sobie wszystko porządnie. Oznacz \(\displaystyle{ |AE|=x}\). Wówczas na mocy podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ADC}\) i\(\displaystyle{ ADE}\)mamy równanie.
Reszta idzie jak z płatka
Reszta idzie jak z płatka