uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta ma długość równą \(\displaystyle{ 1}\), a drugi równą \(\displaystyle{ n}\) (gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną), to długość przekątnej tego prostokąta \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą niewymierną.
Doszedłem do momentu \(\displaystyle{ d=\sqrt{n^2+1}}\). Jak udowodnić, że jest to liczba niewymierna? Wystarczy, że napiszę, że pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej, a liczba \(\displaystyle{ n^2+1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, gdyż znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych \(\displaystyle{ n^2<n^2+1<(n+1)^2}\)
Doszedłem do momentu \(\displaystyle{ d=\sqrt{n^2+1}}\). Jak udowodnić, że jest to liczba niewymierna? Wystarczy, że napiszę, że pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej, a liczba \(\displaystyle{ n^2+1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, gdyż znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych \(\displaystyle{ n^2<n^2+1<(n+1)^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Jak ktoś jest pedantyczny to można jeszcze krótko uzasadnić, dlaczego jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{k}}\) jest liczbą wymierną, to jest liczbą całkowitą.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
2. Bo być może \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest kwadratem liczby wymiernej, ale niecałkowitej.
1. Skorzystaj z definicji liczby wymiernej.
1. Skorzystaj z definicji liczby wymiernej.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Jest takie twierdzenie, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) jest albo całkowita albo niewymierna. Można udowodnić to w jakiś prosty sposób, tylko nie za bardzo pamiętam jak
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych dla wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^2-n}\) oraz twierdzeniem o rozkładzie na czynniki pierwsze. Przynajmniej ja tak bym to robił.bakala12 pisze: Można udowodnić to w jakiś prosty sposób, tylko nie za bardzo pamiętam jak
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Z definicji liczby wymiernej idzie to szybko. Co to znaczy,że liczba jest wymierna i niecałkowita. CZy tu tak może być i dlaczego.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
No liczba wymierna to taka liczba, którą da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \wedge p,q \in N \wedge q \neq 0}\). Liczbą całkowitą jest wtedy, gdy \(\displaystyle{ q\left| p}\), a tutaj w liczniku mamy liczbę naturalną, a w mianowniku 1, więc jest liczbą całkowitą. Dobrze?
Wielomianów niestety jeszcze nie miałem, więc może być ciężko.
Wielomianów niestety jeszcze nie miałem, więc może być ciężko.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Załóżmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z_+}}\) wartość \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) jest liczbą wymierną niecałkowitą, tj dla pewnych naturalnych względnie pierwszych \(\displaystyle{ k,l}\), gdzie \(\displaystyle{ l \ge 2}\) jest \(\displaystyle{ \sqrt{n} = \frac{k}{l} \Leftrightarrow nl^2 = k^2}\). Rozpatrzmy dowolny czynnik pierwszy \(\displaystyle{ p \mid l}\), wówczas \(\displaystyle{ p \mid k^2 \Rightarrow p \mid k}\) sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ NWD(k,l)=1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.
Dziękówa, nie pomyślałbym o tym. Co prawda zadanie rozwiązałem za późno, bo sprawdzian już miałem, aczkolwiek na szczęście podobne zadanie się nie pojawiło .