uzasadnij, że przekątna jest niewymierna.

[AndrzejK]

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta ma długość równą \(\displaystyle{ 1}\), a drugi równą \(\displaystyle{ n}\) (gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną), to długość przekątnej tego prostokąta \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą niewymierną.

Doszedłem do momentu \(\displaystyle{ d=\sqrt{n^2+1}}\). Jak udowodnić, że jest to liczba niewymierna? Wystarczy, że napiszę, że pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej, a liczba \(\displaystyle{ n^2+1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, gdyż znajduje się pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami liczb naturalnych \(\displaystyle{ n^2<n^2+1<(n+1)^2}\)

[liu]

Jak ktoś jest pedantyczny to można jeszcze krótko uzasadnić, dlaczego jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt{k}}\) jest liczbą wymierną, to jest liczbą całkowitą.

[AndrzejK]

1. Jak to uzasadnić?
2. Czy jest to koniecznie?

[Ponewor]

2. Bo być może \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest kwadratem liczby wymiernej, ale niecałkowitej.
1. Skorzystaj z definicji liczby wymiernej.

[bakala12]

Jest takie twierdzenie, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) jest albo całkowita albo niewymierna. Można udowodnić to w jakiś prosty sposób, tylko nie za bardzo pamiętam jak

[yorgin]

Można udowodnić to w jakiś prosty sposób, tylko nie za bardzo pamiętam jak

Twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych dla wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^2-n}\) oraz twierdzeniem o rozkładzie na czynniki pierwsze. Przynajmniej ja tak bym to robił.

[Kartezjusz]

Z definicji liczby wymiernej idzie to szybko. Co to znaczy,że liczba jest wymierna i niecałkowita. CZy tu tak może być i dlaczego.

[AndrzejK]

No liczba wymierna to taka liczba, którą da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \wedge p,q \in N \wedge q \neq 0}\). Liczbą całkowitą jest wtedy, gdy \(\displaystyle{ q\left| p}\), a tutaj w liczniku mamy liczbę naturalną, a w mianowniku 1, więc jest liczbą całkowitą. Dobrze?


Wielomianów niestety jeszcze nie miałem, więc może być ciężko.

[Vax]

Załóżmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z_+}}\) wartość \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) jest liczbą wymierną niecałkowitą, tj dla pewnych naturalnych względnie pierwszych \(\displaystyle{ k,l}\), gdzie \(\displaystyle{ l \ge 2}\) jest \(\displaystyle{ \sqrt{n} = \frac{k}{l} \Leftrightarrow nl^2 = k^2}\). Rozpatrzmy dowolny czynnik pierwszy \(\displaystyle{ p \mid l}\), wówczas \(\displaystyle{ p \mid k^2 \Rightarrow p \mid k}\) sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ NWD(k,l)=1}\).

[AndrzejK]

Dziękówa, nie pomyślałbym o tym. Co prawda zadanie rozwiązałem za późno, bo sprawdzian już miałem, aczkolwiek na szczęście podobne zadanie się nie pojawiło .