istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

1. Czy istnieje trapez o podstawach długości \(\displaystyle{ 2010}\) i \(\displaystyle{ 2011}\), ramionach długości \(\displaystyle{ \sqrt{29}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{34}}\) oraz wysokości \(\displaystyle{ 5}\)?
To zadanie miało cztery podpunkty, gdzie zmieniała się tylko długość podstaw i z nimi sobie poradziłam, a tutaj nie umiem wymyślić przypadku, który by potwierdzał, bo odpowiedź brzmi, że istnieje.

2. Czy istnieje romb o boku długości \(\displaystyle{ 10}\) i jednej z przekątnych długości:
A. \(\displaystyle{ 22}\)
B.\(\displaystyle{ 1}\)
C.\(\displaystyle{ 15}\)
D. \(\displaystyle{ 8}\)?
Odpowiedzi to kolejno: nie, tak, tak, tak.

3. Czy spośród wierzchołków \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego można wybrać trzy wierzchołki będące wierzchołkami trójkąta prostokątnego, jeżeli:
A. \(\displaystyle{ n=14}\)
B.\(\displaystyle{ n=8}\)
C.\(\displaystyle{ n=21}\)
D.\(\displaystyle{ n=5}\)?
Odpowiedzi to kolejno: tak, tak, nie, nie.
Nie mam pojęcia jakie warunki powinny spełniać dane wielokąty, by można było utworzyć w nich trójkąty prostokątne, więc bardzo proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: mmoonniiaa »

1. Układasz dwa równania wykorzystując twierdzenie Pitagorasa. Długość dłuższej podstawy to suma: \(\displaystyle{ a+2010+ 1-a}\)

2. Zastanów się, czy przyprostokątne trójkąta prostokątnego mogą być dłuższe od przeciwprostokątnej.

3. Jeśli liczba wierzchołków jest parzysta, to prowadząc prostą między dwoma dowolnymi wierzchołkami z jednego z tych wierzchołków można poprowadzić prostą prostopadłą przechodzącą przez trzeci wierzchołek. Nie mam innego pomysłu na wytłumaczenie.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

Ok, zadanie 2 i 3 jest już dla mnie jasne, dziękuje.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: mmoonniiaa »

A w 1. co jest niejasne?
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

A co do pierwszego to: \(\displaystyle{ B-A=x+y}\) i podstawiając wszystkie dane wychodzi, że \(\displaystyle{ x+y=5}\), \(\displaystyle{ B-A=1}\), czyli, że się nie da. Żeby wpaść na inny pomysł jak ten trapez powinien wyglądać jestem zbyt ograniczona.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: mmoonniiaa »

Stosując Twoje oznaczenia, zauważ, że: \(\displaystyle{ x+y=1 \Rightarrow y=1-x}\), czyli z twierdzenia Pitagorasa możesz ułożyć dwa równania z niewiadomą iks.
Dla lewego trójkąta:
\(\displaystyle{ x^2+h^2=r_1^2}\)
Podobnie z prawym trójkątem.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Kartezjusz »

\(\displaystyle{ h}\)i\(\displaystyle{ r_{1}}\)masz dane wyliczasz sumę kwadratów tych wystających odcinków w trapezach
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: yorgin »

Większości osób trapez kojarzy się z taką figurą:
\(\displaystyle{ \scalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(0,-1.35)(11.1,1.35)
\psline[linewidth=0.04cm](1.28,1.33)(9.62,1.31)
\psline[linewidth=0.04cm](9.6,1.31)(11.08,-1.31)
\psline[linewidth=0.04cm](11.08,-1.31)(0.0,-1.33)
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,-1.33)(1.3,1.31)
\end{pspicture}
}}\)
Jo-anna,
\(\displaystyle{ \scalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(0,-2.05)(12.6,2.05)
\psline[linewidth=0.04cm](0.04,2.01)(10.24,2.03)
\psline[linewidth=0.04cm](10.24,2.03)(12.58,-2.03)
\psline[linewidth=0.04cm](12.54,-2.01)(4.44,-2.01)
\psline[linewidth=0.04cm](4.44,-2.01)(0.0,2.01)
\end{pspicture}
}}\)
też jest trapezem. Równoległobok to też trapez. I romb. Kwadrat, prostokąt - to wszystko są trapezy.
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: liu »

Problem pojawia się jedynie z trapezem równoramiennym, bo często definiuje się go jako trapez posiadający oś symetrii przecinającą podstawy. Wtedy równoległobok jest trapezem, ale nie jest trapezem równoramiennym;)
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

Dziękuję wszystkim za pomoc, brak elastyczności w myśleniu dotyczącym warunków jakie powinny spełniać figury znów u mnie pokutuje.
A mam jeszcze takie pytanie, jeśli miałabym stwierdzić czy istnieje jakiś trapez jedynie na podstawie podanych długościach podstaw i ramion, to jakie równanie/a trzeba by było stworzyć, np. podstawy \(\displaystyle{ 12}\) i \(\displaystyle{ 17}\), a ramiona \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\)?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: yorgin »

Jeżeli wiesz, które boki mają być podstawami, a które ramionami, to wystarczy, że dłuższa podstawa jest dłuższa od sumy wszystkich pozostałych boków.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

\(\displaystyle{ 17>12+1+3}\), czyli jest to prawda, ale tu akurat wiem, że taki trapez nie istnieje...
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: yorgin »

Tfu, przepraszam...

Dłuższa podstawa ma być krótsza od sumy pozostałych. Wtedy wszystko się zgadza.
Jo-anna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 1 cze 2013, o 21:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 26 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: Jo-anna »

Może to głupie pytanie albo źle sformułowane, więc z góry przepraszam, ale skąd znasz takie warunki?
Przygotowuję się do testu kwalifikacyjnego na studia i prawie do każdego zadania jest potrzebny jakieś warunek, trzeba coś zauważyć itp, bo inaczej to się można zaliczyć na śmierć. A wszystkie zad z geometrii sprawiają mi kłopot. Bo kolejne zadanie brzmi:
Czy istnieje trapez o podstawach długości \(\displaystyle{ 12}\) i \(\displaystyle{ 17}\) oraz ramionach długości:
A. \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\)
B. \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\)
C. \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 15}\)
D. \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 11}\)
Odpowiedzi kolejno to: tak, nie, nie, nie. Nie chciałabym zaliczyć się na śmierć, tak więc, czy jest jakiś sprytny sposób na rozwiązanie tego zadania?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

istnienie rombu i trójkąta o podanych własnościach

Post autor: yorgin »

Odeślę Ciebie tutaj: 257885.htm

To samo zadanie - ten sam problem wraz ze szczegółowym omówieniem.
ODPOWIEDZ