Zagadka matematyczna
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Zagadka matematyczna
Witam.
Usłyszałem od mojego nauczyciela ostatnio ciekawą zagadkę matematyczną, której nawet on nie jest ponoć w stanie rozwiązać.
Dajmy na to jakiś sympatyczny pan ma pole w kształcie koła o promieniu 10m. Tenże pan uwiązał sobie kozę na sznurku, żeby żarła tą trawę, a sznurek zaczepił na okręgu. Jaką długość musi mieć ten sznurek, żeby koza zjadła dokładnie połowę trawy, która rośnie na tym polu?
Czy takie matematyczne cuś da się w ogóle rozwiązać?
Liczę na was mózgi ;>
Usłyszałem od mojego nauczyciela ostatnio ciekawą zagadkę matematyczną, której nawet on nie jest ponoć w stanie rozwiązać.
Dajmy na to jakiś sympatyczny pan ma pole w kształcie koła o promieniu 10m. Tenże pan uwiązał sobie kozę na sznurku, żeby żarła tą trawę, a sznurek zaczepił na okręgu. Jaką długość musi mieć ten sznurek, żeby koza zjadła dokładnie połowę trawy, która rośnie na tym polu?
Czy takie matematyczne cuś da się w ogóle rozwiązać?
Liczę na was mózgi ;>
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Zagadka matematyczna
Albo nie rozumiem warunków zadania, albo ta zagadka jest bardzo łatwa. Wystarczy obliczyć pole koła o promieniu 10m, wziąć z niego połowę i obliczyć promień koła, które ma pole równe połowie tego pierwszego.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Zagadka matematyczna
Jeżeli koza wyjadła trawę na połowie koła to najpewniej da się to rozwiązać. Myślę, że w ostateczności można będzie zapytać kozę jak długi miała łańcuch. .
W.Kr.
W.Kr.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zagadka matematyczna
Da się rozwiązać. Podam odpowiedź, jak doliczę wynik.
Nie dam sobie ręki uciąć za to, ale jeżeli \(\displaystyle{ R}\) jest długością linki i jeżeli nigdzie nie pomyliłem się przy przepisywaniu i rachowaniu, to powinno spełniać równanie
\(\displaystyle{ \frac{R}{20}\left(\frac{R^2}{10}-10\right)+100\arcsin\left(\frac{R}{200}\sqrt{400-R^2}\right)+R^2\arcsin\frac{\sqrt{400-R^2}}{20}-R\sqrt{400-R^2}=50\pi}\)
Nie dam sobie ręki uciąć za to, ale jeżeli \(\displaystyle{ R}\) jest długością linki i jeżeli nigdzie nie pomyliłem się przy przepisywaniu i rachowaniu, to powinno spełniać równanie
\(\displaystyle{ \frac{R}{20}\left(\frac{R^2}{10}-10\right)+100\arcsin\left(\frac{R}{200}\sqrt{400-R^2}\right)+R^2\arcsin\frac{\sqrt{400-R^2}}{20}-R\sqrt{400-R^2}=50\pi}\)
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Zagadka matematyczna
i weź się wciel teraz w tego kolesia liczącego sznurek... chociaż moje nie lepsze\(\displaystyle{ \frac{R}{20}\left(\frac{R^2}{10}-10\right)+100\arcsin\left(\frac{R}{200}\sqrt{400-R^2}\right)+R^2\arcsin\frac{\sqrt{400-R^2}}{20}-R\sqrt{400-R^2}=50\pi}\)
ja coś takiego mam: trochę się nie udało ale ta kropka to ma oznaczać punkt zaczepienia kozy dolne koło wiadomo zasięg, promień to długość sznurka, górne koło - pole. To seledynowe ma się równać połowie górnego koła.
i cały sęk w tym czy to zamocowanie jest na stałe, czy ruchome tzn. czy koza może czy nie może chodzić dookoła pola ja uznałem że jest uwiązana jak pies na łańcuchu
umieśćmy układ współrzędnych w tej kropce. Równanie tego dolnego okręgu będzie takie: \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień dolnego koła (długość sznurka). Równanie górnego koła: \(\displaystyle{ x^2+\left( y-10\right)^2=100}\).
Seledynowe pole ma być równe \(\displaystyle{ 50\pi \ m^2}\) - i uznać to za obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ x}\). Ja bym to z całki pocisnął. Równanie dolnej krawędzi obszaru:
\(\displaystyle{ x^2+\left( y-10\right)^2=100 \\ \left( y-10\right)^2=100-x^2 \\ y-10=-\sqrt{100-x^2} \\ \blue y=10-\sqrt{100-x^2}}\)
Górne ograniczenie obszaru:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 \\ y^2=r^2-x^2 \\ \blue y=\sqrt{r^2-x^2}}\)
Ustalmy punkty przecięcia się obu okręgów (układ równań):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ x^2+\left( y-10\right)^2=100 \end{cases}}\)
odejmujemy drugie od pierwszego
\(\displaystyle{ 2\cdot 10y-10^2=r^2-100 \ \to \ \blue y=\frac{r^2}{20}}\) - i to będą współrzędne \(\displaystyle{ y}\) obu punktów wspólnych okręgów. Szukamy współrzędnych iksowych tych ważniejszych
\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 \\ x^2+\left( \frac{r^2}{20}\right)^2=r^2 \\ x^2=r^2-\frac{r^4}{400} \\ x^2=r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right) \\ \\ x=\sqrt{r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right)} \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x=-\sqrt{r^2\left( 1- \frac{r^2}{400} \right)} \\ \blue x=r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} } \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ x=-r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }}\)
Mamy współrzędne punktów przecięcia (granice całkowania) więc można napisać całkę jako pole obszaru:
\(\displaystyle{ \int_{-r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }}^{r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }} \sqrt{r^2-x^2}-10+\sqrt{100-x^2} dx=50\pi}\)
Z racji symetrii można napisać że
\(\displaystyle{ \int_{0}^{r\sqrt{ 1- \frac{r^2}{400} }} \sqrt{r^2-x^2}-10+\sqrt{100-x^2} dx=25\pi}\)
sprawdzałem w wolframie i bardzo dziwne rzeczy z tego pokazuje
zatem pozostają metody przybliżone... chyba że ktoś jeszcze coś przedstawi
-
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Zagadka matematyczna
To zadanie, podobnie jak zadanie o drabinach w alejce, powraca co jakiś czas. Rozwiązujący mogą sprawdzić poprawność wyników korzystając z forumowej wyszukiwarki.
-
- Użytkownik
- Posty: 1588
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Zagadka matematyczna
koło o polu o połowę mniejszą:
\(\displaystyle{ P_D = 100\pi\\
P_Z = 50\pi\\
r_Z = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}}\)
stąd wynika, że o ile punkt przywiązania jest w odległości conajmniej \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}m}\) od brzegu dziaki to taka własnie jest długość sznura.
jeśli natomiast punkt przywiązania jest bliżej brzegu działki to zachodzi to, co na rysunku loitzl9006 gdzie zasięg wychodzi poza działkę więc sznur musi być dłuższy i trzeba się posłużyć całką
\(\displaystyle{ P_D = 100\pi\\
P_Z = 50\pi\\
r_Z = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}}\)
stąd wynika, że o ile punkt przywiązania jest w odległości conajmniej \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}m}\) od brzegu dziaki to taka własnie jest długość sznura.
jeśli natomiast punkt przywiązania jest bliżej brzegu działki to zachodzi to, co na rysunku loitzl9006 gdzie zasięg wychodzi poza działkę więc sznur musi być dłuższy i trzeba się posłużyć całką
Zagadka matematyczna
Buahahaha, a ja zrobiłem bez całek
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ P}\) - środek pastwiska (okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\))
\(\displaystyle{ O}\) - miejsce "zaczepienia" kozy, środek okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\) (ten czerwony okrąg)[/latex]
\(\displaystyle{ OO`}\) - średnica pastwiska
\(\displaystyle{ Q, R}\) - punkty wspólne okręgów \(\displaystyle{ o_{1}, o_{2}}\)
\(\displaystyle{ r = 10}\) - długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - szukana długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\)
Koza zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ O}\), może poruszać się tylko po fioletowym polu - inaczej byłoby bez sensu - przynajmniej ja tak rozumiem tę zagadkę. Zatem warunek zadania jest następujący:
\(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR} = \frac{1}{2} P_{o_{1}}}\).
\(\displaystyle{ P_{o_{1}}}\) mamy dane, gorzej z tymi wycinkami, prawda? A ściślej mówiąc z kątami \(\displaystyle{ \angle QPR, \angle QOR}\).
Niech \(\displaystyle{ \angle OQS = \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ \angle SOQ = \frac{\pi}{2} - \alpha}\).
Łatwo wykazać, że: \(\displaystyle{ \angle QOR = \pi - 2\alpha}\). Ponieważ czworokąt \(\displaystyle{ O`QOR}\) jest opisany na okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\) oraz trójkąt \(\displaystyle{ QPR}\) jest równoramienny, to \(\displaystyle{ \angle QPS = 2\alpha}\).
Znamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) (\(\displaystyle{ |OP| = |R - r|}\) - jakbyś miał wątpliwości) więc możemy policzyć \(\displaystyle{ P_{PQOR} = 2P_{QPO}}\), oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), więc możemy policzyć pola: \(\displaystyle{ P_{wycinek ROQ}}\) i \(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ}}\)...
uff...
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ P}\) - środek pastwiska (okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\))
\(\displaystyle{ O}\) - miejsce "zaczepienia" kozy, środek okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\) (ten czerwony okrąg)[/latex]
\(\displaystyle{ OO`}\) - średnica pastwiska
\(\displaystyle{ Q, R}\) - punkty wspólne okręgów \(\displaystyle{ o_{1}, o_{2}}\)
\(\displaystyle{ r = 10}\) - długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - szukana długość promienia okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\)
Koza zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ O}\), może poruszać się tylko po fioletowym polu - inaczej byłoby bez sensu - przynajmniej ja tak rozumiem tę zagadkę. Zatem warunek zadania jest następujący:
\(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR} = \frac{1}{2} P_{o_{1}}}\).
\(\displaystyle{ P_{o_{1}}}\) mamy dane, gorzej z tymi wycinkami, prawda? A ściślej mówiąc z kątami \(\displaystyle{ \angle QPR, \angle QOR}\).
Niech \(\displaystyle{ \angle OQS = \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ \angle SOQ = \frac{\pi}{2} - \alpha}\).
Łatwo wykazać, że: \(\displaystyle{ \angle QOR = \pi - 2\alpha}\). Ponieważ czworokąt \(\displaystyle{ O`QOR}\) jest opisany na okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\) oraz trójkąt \(\displaystyle{ QPR}\) jest równoramienny, to \(\displaystyle{ \angle QPS = 2\alpha}\).
Znamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) (\(\displaystyle{ |OP| = |R - r|}\) - jakbyś miał wątpliwości) więc możemy policzyć \(\displaystyle{ P_{PQOR} = 2P_{QPO}}\), oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), więc możemy policzyć pola: \(\displaystyle{ P_{wycinek ROQ}}\) i \(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ}}\)...
uff...
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zagadka matematyczna
Wow.ucwmiu pisze:Buahahaha, a ja zrobiłem bez całek
Przydałby się trochę czytelniejszy rysunek. I taki, który jest widoczny w poście, gdyż męczące jest strasznie przeskakiwanie między dwoma oknami, żeby przeczytać Twój wywód.ucwmiu pisze:
Możesz dokładniej wyjaśnić, skąd mamy wszystkie boki trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) ? Twierdzenie cosinusów? I jak z końcowym wzorem?ucwmiu pisze: Znamy długości boków trójkąta \(\displaystyle{ QPO}\) (\(\displaystyle{ |OP| = |R - r|}\) - jakbyś miał wątpliwości) więc możemy policzyć \(\displaystyle{ P_{PQOR} = 2P_{QPO}}\), oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), więc możemy policzyć pola: \(\displaystyle{ P_{wycinek ROQ}}\) i \(\displaystyle{ P_{wycinek RPQ}}\)...
uff...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Zagadka matematyczna
Właściwie tak. Tw Cosinusów. Tylko wyliczysz \(\displaystyle{ \alpha}\) ale skąd masz \(\displaystyle{ r}\) w takim razie. Mamy dwie niewiadome. i jedno równanie (tw cosinusów)
Zagadka matematyczna
Chodzi o to, że \(\displaystyle{ |PQ| = 10}\), \(\displaystyle{ |OQ| = R}\), \(\displaystyle{ |PO| = |R-10|}\), więc możemy wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\) za pomocą naszej niewiadomej \(\displaystyle{ R}\). Potem wstawiamy do równania :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_{o_{1}} = P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR}}\). Teraz mamy równanie z jedną niewiadomą
Uwaga: żeby wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ R}\) potrzebna nam jest funkcja \(\displaystyle{ arccos}\) (tw. kosinusów - trójkąt \(\displaystyle{ QPO}\)). O gotowy wzór mnie nie pytaj - po prostu podałem ścieżkę rozwiązania, która - według mnie jest poprawna. Oczywiście jeśli się mylę, będę bardzo wdzięczny, jeżeli ktoś mi pokaże ów błąd - podobno najlepszy sposób na naukę .
PS
PPS Jak wstawić rysunek bezpośrednio do postu?
pozdrawiam
Oto ładniejszy rysunek, ale nie wiem, jak go powiększyć...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_{o_{1}} = P_{wycinek RPQ} + P_{wycinek ROQ} - P_{PQOR}}\). Teraz mamy równanie z jedną niewiadomą
Uwaga: żeby wyrazić \(\displaystyle{ \alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ R}\) potrzebna nam jest funkcja \(\displaystyle{ arccos}\) (tw. kosinusów - trójkąt \(\displaystyle{ QPO}\)). O gotowy wzór mnie nie pytaj - po prostu podałem ścieżkę rozwiązania, która - według mnie jest poprawna. Oczywiście jeśli się mylę, będę bardzo wdzięczny, jeżeli ktoś mi pokaże ów błąd - podobno najlepszy sposób na naukę .
PS
Czy może mógłbyś mi polecić jakiś program do wykonywania rysunków do zadań z geometrii? Ten robiłem w paint`cie i faktycznie jest trochę lipny.yorgin pisze:ucwmiu pisze: Przydałby się trochę czytelniejszy rysunek. I taki, który jest widoczny w poście, gdyż męczące jest strasznie przeskakiwanie między dwoma oknami, żeby przeczytać Twój wywód.
PPS Jak wstawić rysunek bezpośrednio do postu?
pozdrawiam
Oto ładniejszy rysunek, ale nie wiem, jak go powiększyć...
- Martingale
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 9 lip 2013, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stuttgart
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 10 razy
Zagadka matematyczna
Zakładając, że promień pola to 1, a długość sznurka to \(\displaystyle{ r}\), wystarczy rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ r^2\cos^{-1}(r/2)+\cos^{-1}(1-r^2/2) -r \sqrt{1-r^2/4} =\pi / 2,}\)
Niestety, inaczej niż się nie da.
\(\displaystyle{ r^2\cos^{-1}(r/2)+\cos^{-1}(1-r^2/2) -r \sqrt{1-r^2/4} =\pi / 2,}\)
Niestety, inaczej niż się nie da.
-
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Zagadka matematyczna
Patrząc nieco ogólniej, wyprowadziłem wzorek na udział wyjedzonej trawy na polu, w zależności od proporcji długości sznurka do promienia pola. (koza przywiązana w punkcie na skraju pola).
\(\displaystyle{ k}\)-iloraz długości sznurka do promienia pola.
\(\displaystyle{ w= \frac{k \sqrt{(2-k)(2+k)} }{2} }\) - pomocnicza.
\(\displaystyle{ T=\left( \frac{k-1}{ \pi }\right) \arcsin(w) - \frac{w}{ \pi } +1}\)-udział wyjedzonej trawy.
\(\displaystyle{ k}\)-iloraz długości sznurka do promienia pola.
\(\displaystyle{ w= \frac{k \sqrt{(2-k)(2+k)} }{2} }\) - pomocnicza.
\(\displaystyle{ T=\left( \frac{k-1}{ \pi }\right) \arcsin(w) - \frac{w}{ \pi } +1}\)-udział wyjedzonej trawy.
Ostatnio zmieniony 10 lut 2022, o 11:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.