zadania konkursowe gimnazjum - trapez i trójkąt

klio · Post autor: **klio** » 16 wrz 2013, o 08:30

Witam,
może ktoś mógłby mi pomóc i wskazał jak rozwiązać podane zadanka.
zad.1
W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt równoboczny DEF w ten sposób, że boki AB i DE są prostopadłe, a wierzchołek F leży na boku AC. Oblicz ile razy pole trójkąta DEF jest mniejsze od pola trójkąta ABC.

Zad2.
Przekątna trapezu równoramiennego, którego podstawy mają dł. 30 cm i 66cm, jest dwusieczną kąta przy jego dłuższej podstawie. Oblicz pole tego trapezu.

Z góry dziękuję za pomoc.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 wrz 2013, o 11:13

Co to za konkurs ?

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 16 wrz 2013, o 11:16

W drugim od razu na myśl przychodzi twierdzenie cosinusów

\(\displaystyle{ a,b - \text{ ramiona}\\
c - \text{ dłuższa przekątna}\\
2\alpha - \text{ kąt przy dłuższej podstawie}\\
\\
30^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\alpha\\
a^2 = 66^2 + c^2 - 132c\cos\alpha\\
c^2 = a^2 + 66^2 - 132a\cos{2\alpha}}\)

z tego powinno się już dać wyznaczyć a i c (albo przynajmniej jedno) a potem z pitagorasa wysokość trapezu

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 wrz 2013, o 11:19

1) To gimnazjum.

2) Poczekaj niech user określi co to za konkurs.

klio · Post autor: **klio** » 16 wrz 2013, o 14:37

to kuratoryjny z zeszłego roku

6weronika · Post autor: **6weronika** » 16 wrz 2013, o 14:44

Wyrysuj sobie wszystkie kąty. Wyjdzie, że wszystkie boki małęgo trójkąta cą prostopadłe do boków dużego trójkąta. Później przyjmij sobie np., że bok trójkąta DEF jest równy x, a że wszystkie trójkąty prostokątne są charakterystyczne (90,60,30) możesz policzyć wszystkie pozostałe boki - otrzymasz bok trójkąta ABC w zależnośći od x i później już ze wzoru na pole trójkąta rónobocznego i policzyć stosunek - wychodzi, że jest 3 razy mniejszy.

klio · Post autor: **klio** » 16 wrz 2013, o 14:59

dzięki 6weronika

6weronika · Post autor: **6weronika** » 16 wrz 2013, o 15:41

Jeśli chodzi o drugie zadanie to nie pamiętam jaki jest zakres w gimnazjum. Robicie funkcje trygonometryczne? znacie wzory na \(\displaystyle{ \sin{2\alpha}}\)

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 16 wrz 2013, o 16:52

6weronika, w gimnazjum nie ma w ogóle trygonometrii. Są tylko związki miarowe w trójkąci równobocznym (wzory na pole i wysokość) .

GluEEE · Post autor: **GluEEE** » 16 wrz 2013, o 18:18

Mam to drugie :p. Narysuj sobie ten trapez i oznacz ramię \(\displaystyle{ x}\). Jeśli przekątna jest dwusieczną przy dłuższej podstawie, to kąt między krótszą podstawą a przekątną jest równy połowie kąta między ramieniem a dłuższą podstawą (Z równości kątów przy obu podstawach wynika, że ich suma musi być równa 180. Podzielmy kąt między dłuższą podstawą a ramieniem (\(\displaystyle{ a}\)) na dwa. Kąt między krótszą podstawą a ramieniem jest równy \(\displaystyle{ 180-a}\), więc kąt między krótszą podstawą a przekątną (\(\displaystyle{ b}\)) jest równy \(\displaystyle{ 180-a+ \frac{a}{2}+b=180 \Leftrightarrow \frac{a}{2}=b}\))
Więc trójkąt o bokach: przekątna, krótsza podstawa, ramię jest trójkątem równoramiennym o ramionach: krótsza podstawa, ramię. Dalej już chyba prosto.

PS. Bardzo lubię takie zadania. Jak masz coś jeszcze, to pisz .