Punkty kratowe, udowodnić, że odcinek ich nie ma.

[GluEEE]

Na płaszczyźnie dany jest pionowy odcinek długości 1995 nie zawierający żadnych punktów kratowych (t.j. punktów o obu współrzędnych
całkowitych). Czy można tak poruszać tym odcinkiem, aby w żadnym momencie nie zawierał on
punktów kratowych, a po zakończeniu ruchu był położony poziomo?

Rozwiązanie: Rozwiązanie: ... ykladu.pdf na stronie 11. Dodatkowo mam pytanie o zadanie :
Dowieść, że istnieje 1000001 kolejnych
liczb naturalnych, z których żadna nie jest sumą
2 kwadratów liczb całkowitych.

Czy podane tam rozwiązania są prawidłowe?

[Vax]

Tak.

[GluEEE]

Jak w pierścieniu między \(\displaystyle{ r=\sqrt{n}}\) a \(\displaystyle{ R=\sqrt{n+10^6}}\) nie może być punktów kratowych?

-- 15 wrz 2013, o 16:02 --

Podobnie z tymi sumami kwadratów. Równanie jest prawdziwe, ale czy takie coś może wystąpić?-- 16 wrz 2013, o 14:52 --Umie ktoś to zrobić?

[Vax]

Przecież \(\displaystyle{ 10^6}\) jest stałą, a \(\displaystyle{ n}\) może być dowolnie duże, więc obie wartości \(\displaystyle{ r = \sqrt{n}}\) oraz \(\displaystyle{ R = \sqrt{n+10^6}}\) są podobnej wielkości A jeżeli chodzi o formalny dowód, że nie istnieje żaden punkt kratowy wewnątrz danego pierścienia, to załóżmy nie wprost, że istnieje punkt kratowy, którego odległość od środka pierścienia jest z przedziału \(\displaystyle{ k \in [r ; R]}\), ale wtedy z tw. Pitagorasa dla pewnych całkowitych \(\displaystyle{ a,b}\) mamy \(\displaystyle{ k^2 = a^2+b^2}\), ale \(\displaystyle{ k^2 \in [n ; n+10^6]}\) skąd sprzeczność z wyborem \(\displaystyle{ n}\) (wybraliśmy takie \(\displaystyle{ n}\), że żadna z liczb \(\displaystyle{ n,n+1,...,n+10^6}\) nie jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych).