Dany jest trójkąt równoramienny znajdź dł. odcinka

[mariusz2409]

Dany jest trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\) o ramionach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) długości \(\displaystyle{ 12}\). Kąt między boakmi \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Przez środek \(\displaystyle{ O}\) okręgu opisanego na trójkącie i wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) trójkąta poprowadzono prostą, która przecięła bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ |AK|}\)

skorzystałem z tego, następnie skorzystałem z twierdzenia sinusów skąd wyznaczyłem \(\displaystyle{ R=\frac{6}{\cos \alpha}= \frac{c}{4\sin \alpha \cdot \cos \alpha}}\), jednak dalej coś mi nie wychodzi, gdyż dostaje \(\displaystyle{ \alpha=45}\) co mi troche tutaj nie pasuje. Prosiłbym o wskazówkę co dalej powinienem zrobić. Pozdrawiam

[oldj]

jednak dalej coś mi nie wychodzi, gdyż dostaje \(\displaystyle{ \alpha=45}\) co mi troche tutaj nie pasuje

jeśli w zadaniu jest podany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i nie ma pytania o jego wartość, to zazwyczaj jest tak, że jest on parametrem i nie należy go wyliczać tzn. ostateczna odpowiedź będzie wyrażona w jakiś sposób poprzez \(\displaystyle{ \alpha}\)

skorzystałem z tego, następnie skorzystałem z twierdzenia sinusów skąd wyznaczyłem
\(\displaystyle{ R=\frac{6}{cos\alpha}= \frac{c}{4sin\alpha \cdot cos\alpha}}\)

okej (chociaż druga równość niepotrzebna)

\(\displaystyle{ |AK| = |AO| + |OK| = R + |OK|}\). Żeby wyliczyć \(\displaystyle{ |OK|}\), zastosuj jeszcze raz tw. sinusów do innego trójkąta.

[mariusz2409]

Ale wtedy dojdzie mi nowa niewiadoma bo nie znam promienia okregu który jest opisany na tym trójkącie, chyba że chodziło Ci o inny trójkąt, ale z Twojej wypowiedzi wnioskuje, że chodzi Ci o trójkąt \(\displaystyle{ COK}\).

[oldj]

nie znam promienia okregu który jest opisany na tym trójkącie

na pewno nie znasz? przecież wyliczyłeś \(\displaystyle{ R}\). tak, chodziło mi o trójkąt \(\displaystyle{ COK}\) - znasz tam wszystkie kąty i masz jeden bok ( \(\displaystyle{ |CO|=R}\)) - więc z tw. sinusów wyznaczysz \(\displaystyle{ |OK|}\)

[mariusz2409]

no tak tylko, że promień okręgu na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) nie równa się promieniowi okręgu trójkąta \(\displaystyle{ COK}\). To z twierdzenia sinusów wyjedzie \(\displaystyle{ |OK|=R_{1} \cdot \sin \alpha}\)

[oldj]

chodzi mi o równość \(\displaystyle{ \frac{|CO|}{\sin 3\alpha}= \frac{|OK|}{\sin \alpha}}\)

jeszcze skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ \sin(\pi- \alpha) = sin\alpha}\)