Uzasadnić, że odcinki się przecinają - mocno teoretyczne.

[matmatmm]

Zgrubsza chodzi o rzecz oczywistą jakiej na ogół się nie dowodzi. Wydaje mi się, że będzie trzeba się odwołać do jakiś aksjomatów lub definicji. Dowód może zależeć też od tego jaką aksjomatykę przyjmujemy. W każdym razie proszę o jakieś wskazówki, nawet takie "na chłopski rozum" lub oparte o wiedzę szkolną.

Dane są cztery parami różne punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), które należą do jednej płaszczyzny. Załóżmy, że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe i różne oraz proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) są równoległe i różne. Wykazać, że odcinki otwarte \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) mają punkt wspólny.

Założenia można osłabić w ten sposób:
Dane są cztery parami różne punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), które należą do jednej płaszczyzny. Jeśli proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ E}\), to \(\displaystyle{ E}\) nie należy do odcinków domkniętych \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Jeśli proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ F}\), to \(\displaystyle{ F}\) nie należy do odcinków domkniętych \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Wykazać, że odcinki otwarte \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) mają punkt wspólny.

Założenia tego drugiego zadania są warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby punkty ABCD tworzyły czworokąt wypukły, a teza mówi, że przekątne się przecinają. Mając rozwiązane drugie zadanie, pierwsze można do niego sprowadzić, ale może będzie łatwiej robić najpierw w szczególnym przypadku.

[Ponewor]

Skorzystałbym z pojęcia strony prostej.

[matmatmm]

Chodzi o półpłaszczyznę, tak? Bo ja zauważyłem, że wystarczy wykazać, że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) należą do różnych półpłaszczyzn wyznaczonych przez prostą \(\displaystyle{ BD}\) (i analogicznie punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) należą do różnych półpłaszczyzn wyznaczonych przez prostą \(\displaystyle{ AC}\)). Stąd już wynika teza.

Czy o to ci chodziło? Jeśli tak, to jak to uzasadnić?-- 15 wrz 2013, o 09:01 --Udało mi się to udowodnić. Jeśli ktoś jest zainteresowany mogę tutaj napisać.