Witam,
Mam problem. Polega on na tym, że mam znaleźc minimum funkcji : \(\displaystyle{ ((x-\alpha)^{2}+(y-1)^{2}+3)}\) przy ograniczeniach:
\(\displaystyle{ x+2y\le 4 \\
x \ge 0 \\
y \ge 0}\)
Narysowałem funkcję \(\displaystyle{ y=-\frac12x+4}\) oraz zaznaczyłem te ograniczenia na wykresie. Nie wiem natomiast co z tą funkcją na górze z min. Domyślam się że jest to koło ale nie wiem jaki promień itp. Nie wiem czy ma to znaczenie że nie ma promienia.
Proszę o odpowiedź
Minimum funckji
-
ZippMaster
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 4 lip 2012, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
Minimum funckji
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2013, o 15:52 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
mechatronik300
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 26 sty 2013, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Minimum funckji
Narysowałeś nie tą funkcję-- 7 wrz 2013, o 15:55 --Funkcję przyrównaj do zera i będzie to promień zespolony
-
ZippMaster
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 4 lip 2012, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
Minimum funckji
Przyrównałem do liczby 0 tę funkcję i co dalej? Obliczyłem wstępnie postać koncową tej funkcji i dalej nie wiem co robić
-
mechatronik300
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 26 sty 2013, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Minimum funkcji
W zależności od parametru odpowiedź jest wg mnie taka, jak poniżej (z lenistwa Twoje \(\displaystyle{ \alpha}\) to moje \(\displaystyle{ a}\)).
\(\displaystyle{ f_{min}(x,y)=\begin{cases}f(0,1)=a^2+3,&\mbox{gdy}\ \ a<0\\f(a,1)=3,&\mbox{gdy}\ \ 0\le a\le 2\\ f\left(\frac{4a+2}{5},\frac{9-2a}{5}\right)=\frac{a^2-4a+19}{5},&\mbox{gdy}\ \ 2<a\le\frac{9}{2}\\ f(4,0)=a^2-8a+20,&\mbox{gdy}\ \ \frac{9}{2}<a\end{cases}}\)
Proponuję na moment zapomnieć o trójce. Geometrycznie można to zinterpretować tak: masz trójkąt określony przez koniunkcję podanych w zadaniu warunków i szukasz w nim takiego punktu \(\displaystyle{ P=(x,y)}\), żeby kwadrat odległości \(\displaystyle{ P}\) od punktu \(\displaystyle{ Q=(a,1)}\) był najmniejszy, czyli faktycznie żeby odległość \(\displaystyle{ PQ}\) była najmniejsza.
Narysuj prostą \(\displaystyle{ y=1}\) i zaznacz na niej punkt \(\displaystyle{ Q}\) na lewo, wewnątrz i na prawo od trójkąta danego przez warunki zadania - teraz powinno być łatwiej to zobaczyć. Dlaczego na prawo trzeba rozpatrywać dwa przedziały?
Jasne było od początku, że w żadnym przypadku minimalna wartość funkcji nie może być mniejsza niż trzy - i ta wartość jest osiągana.
\(\displaystyle{ f_{min}(x,y)=\begin{cases}f(0,1)=a^2+3,&\mbox{gdy}\ \ a<0\\f(a,1)=3,&\mbox{gdy}\ \ 0\le a\le 2\\ f\left(\frac{4a+2}{5},\frac{9-2a}{5}\right)=\frac{a^2-4a+19}{5},&\mbox{gdy}\ \ 2<a\le\frac{9}{2}\\ f(4,0)=a^2-8a+20,&\mbox{gdy}\ \ \frac{9}{2}<a\end{cases}}\)
Proponuję na moment zapomnieć o trójce. Geometrycznie można to zinterpretować tak: masz trójkąt określony przez koniunkcję podanych w zadaniu warunków i szukasz w nim takiego punktu \(\displaystyle{ P=(x,y)}\), żeby kwadrat odległości \(\displaystyle{ P}\) od punktu \(\displaystyle{ Q=(a,1)}\) był najmniejszy, czyli faktycznie żeby odległość \(\displaystyle{ PQ}\) była najmniejsza.
Narysuj prostą \(\displaystyle{ y=1}\) i zaznacz na niej punkt \(\displaystyle{ Q}\) na lewo, wewnątrz i na prawo od trójkąta danego przez warunki zadania - teraz powinno być łatwiej to zobaczyć. Dlaczego na prawo trzeba rozpatrywać dwa przedziały?
Jasne było od początku, że w żadnym przypadku minimalna wartość funkcji nie może być mniejsza niż trzy - i ta wartość jest osiągana.