Czworokąty dwuśrodkowe.

[bakala12]

K i L naprzeciw siebie. Do średnicy oznaczało że łuki mają długość połowy obwodu. W Twoim zadaniu nie trzeba w ogóle rysować punktów K,L,M i N. Wystarczy narysować przekątne i spojrzeć na kąty. Moje zadanie było w zasadzie do niczego nie potrzebne, poza tym że mogło pokazać jak należy posługiwać się łukami.

[GluEEE]

Dobra, mam! Potem wychodzi, że suma dwóch kątów w trójkącie wynosi 90 stopni (bo te kąty wpisane)---> więc przekątne tną się pod kątem 90 stopni!

Dzięki!



A teraz to drugie...
Czy jeśli to zostało udowodnione mogę z tego korzystać podczas drugiego dowodu?

[bakala12]

Tak możesz, z tym że nie wiem jak zamierzasz z tego skorzystać. Podpunkt b) jest chyba dużo trudniejszy i na razie nie mam pomysłu.

[GluEEE]

Hmmm... Czytałeś, to co wysłałem? Tam jest pewien wzór, podobny do równania soczewki.

Ja myślałem, żeby ten wzór poprzekształcać.

Albo porównać z kwadratem (gdzie d=0) i potem przesunąć to o \(\displaystyle{ dd}\)... Wyszłoby równanie różniczkowe 1. stopnia, ale nie wiem czy to ma tutaj sens...-- 8 sie 2013, o 14:38 --Widziałeś tamten wzór?

[Ponewor]

Drugie polecenie dowodzi się tak:
Należy udowodnić trzy lematy:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dowiedziony przed chwilą.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) W dowolnym czworokącie opisanym na okręgu, środek tego okręgu i środki przekątnych tego czworokąta są współliniowe (twierdzenie Newtona).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Środki okręgu opisanego, wpisanego i punkt przecięcia przekątnych są współliniowe.

[GluEEE]

Serio masz 17 lat :O?

Jak udowodnić 2 oraz 3?

Da się to zrobić bez pierwszego?

Czy to, że udowodni się, że wszystko jest współliniowe wystarczy do zadania?
Tam trzeba udowodnić równość tamtych odcinków .

Dziękuję!

[Ponewor]

Tak.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) dowodzi się jako wniosek z twierdzenia Léon Anne: W dowolnym czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) nie będącym równoległobokiem, zbiór punktów \(\displaystyle{ X}\) takich, że \(\displaystyle{ S( \triangle AXB) + S( \triangle CXD) = S( \triangle BXC) + S( \triangle AXD)}\) jest prostą Newtona tego czworokąta (prostą przez środki przekątnych). Można pokazać ogólniejszy fakt: zbiór punktów \(\displaystyle{ X}\) takich, że wyrażenie \(\displaystyle{ S( \triangle AXB) + S( \triangle CXD)}\) przyjmuje stałą wartość, jest linią prostą.

\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) to twierdzenie dowieść można przy pomocy biegunowych, o których możesz się sporo dowiedzieć ze świetnej pracy Dominika Burka .

A uzyskać z tego interesującą nas tezę już nietrudno. Zrzutuj środek okręgu opisanego na przekątne czworokąta. Masz pięć punktów: dwa rzuty (co to za punkty?), dwa środki okręgów i punkt przecięcia przekątnych. Połącz każdy z każdym, zastosuj lematy i teza jest oczywista.

[GluEEE]

(co to za punkty?) Gdy rzutuję środek okręgu opisanego na przekątne, to wychodzi mi ten sam punkt i punkt po drugiej stronie drugiej przekątnej.

Połącz każdy z każdym No i wychodzi linia prosta, tak?

Zastosuj lematy i teza jest oczywista. Hmm... Jak mam je zastosować? Przecież one mówią o tym, że wszystkie te punkty są współliniowe...

[Ponewor]

Nie bardzo, bo nie jest to ta sama prosta przecież. Zaraz wesprę Cię rysunkiem.

No dobrze. Z grubsza powinno wyglądać to jak na moim rysunku. Więc czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), środek okręgu opisanego \(\displaystyle{ O}\), wpisanego \(\displaystyle{ I}\), punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ P}\), a rzuty \(\displaystyle{ O}\) na przekątne to \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\).
Ponieważ prosta prostopadła do cięciwy okręgu przechodzące przez jego środek jest symetralną tej cięciwy, to \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami przekątnych. Czworokąt \(\displaystyle{ MONP}\) ma trzy kąty proste (dwa bo rzuty prostokątne, trzeci ma mocy lematu), więc jest prostokątem. Punkt \(\displaystyle{ I}\) na mocy lematów leży na jednej i na drugiej przekątnej tego prostokąta, więc połowi każdą z nich, a w szczególności połowi odcinek \(\displaystyle{ OP}\).

[GluEEE]

Bardzo dziękuję

[Ponewor]

Gotowe (w poprzednim poście).

[GluEEE]

Dobra, wszystko czaję, dzięki!

A można to zastosować w przypadku, gdy wszystkie te punkty są w jednej linii?

-----
Ponieważ prosta prostopadła do cięciwy okręgu przechodzące przez jego środek jest symetralną tej cięciwy, to M i N są środkami przekątnych.

Hmm? Skąd wiesz, że to jest symetralna?

[Ponewor]

Bo na przykład środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcia symetralnych odcinków. Przecież symetralna jest zbiorem punktów równoodległych od końców odcinka, a środek okręgu jest niewątpliwie takim punktem dla końców cięciwy tego okręgu. Tej elementarnej własności dowodzimy za pomocą prostego przystawania trójkątów.

[GluEEE]

Tak, zapomniałem .-- 8 sie 2013, o 23:04 --A da się to zrobić bez tw. 1?

[Ponewor]

Bez kąta prostego \(\displaystyle{ MPN}\)? Nie wiem. Wtedy wiemy jedynie, że czorokąt \(\displaystyle{ MONP}\) jest cykliczny, zaś środek \(\displaystyle{ OP}\) jest środek \(\displaystyle{ MN}\) i środkiem okręgu opisanego na tym czworokącie. Teza jest zatem równoważna \(\displaystyle{ \left| MI\right| =\left| NI\right|}\), ale nie wiem czy to jakoś pomoże.