Punkty A, B, C, D leżą na okręgu O

[mariusz2409]

Punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ O}\)

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) udowodnij że \(\displaystyle{ AM \cdot MC=BM \cdot MD}\)

Jakaś wskazówka jak się zabrać do dowodu?

[piasek101]

Punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ O}\)

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) udowodnij że \(\displaystyle{ AM * MC=BM * MD}\)

To nie zachodzi (w ogólnym przypadku).

[edit] Chyba, że konkretniej umiejscowisz M.
[edit1] I tak (wg mnie) zawsze nie zajdzie.

[Msciwoj]

Symbol mnożenia to cdot

Oczywiście, że to zachodzi, to przecież potęga punktu jest. Dowód na kątach wpisanych i podobieństwie, wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{AM}{BM} = \frac{DM}{CM}}\) z odpowiednich trójkątów.

To powyższe oczywiście jeżeli punkt \(\displaystyle{ M}\) leży wewnątrz okręgu. Jakoś się zasugerowałem że tylko o ten przypadek chodzi. Na okręgu leżeć nie może, bo oznaczałoby to, że istnieje prosta, która przecina tenże okrąg w trzech punktach.

Jeśli leży poza okręgiem (na zewnątrz) to rysujemy styczną do okręgu z punktu \(\displaystyle{ M}\), niech będzie ona styczna w jakimś punkcie \(\displaystyle{ S}\). Udowadniamy, że \(\displaystyle{ MS^2 = MA \cdot MB}\) i analogicznie druga równość. Najprościej jest na kątach wpisanych, zapisując tezę w postaci analogicznej do poprzedniej. Znowu jakieś trójkąty podobne i wyjdzie.

[piasek101]

Symbol mnożenia to cdot

Oczywiście, że to zachodzi, to przecież potęga punktu jest. Dowód na kątach wpisanych i podobieństwie, wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{AM}{BM} = \frac{DM}{CM}}\) z odpowiednich trójkątów.

Cytowałem zadanie - wg mnie nie zachodzi.

Poprawne zadanie idzie np z Pitagorasa.

[Msciwoj]

Zapewne czepiasz się zapisu. Ja bym nie był aż takim purystą pod tym względem.

btw. Z Pitagorasa? Niby można, ale tutaj to nawet Pitagoras to armata.

[piasek101]

Zapewne czepiasz się zapisu. Ja bym nie był aż takim purystą pod tym względem.

btw. Z Pitagorasa? Niby można, ale tutaj to nawet Pitagoras to armata.

Niech AC będzie średnicą okregu o promieniu 4. Natomiast BD prostopadłą do niej cięciwą o długości 2. I nie idzie mio udowodnienie.

[bakala12]

piasek101, jeżeli punkt \(\displaystyle{ M}\) jest punktem przecięcia przekątnych to zachodzi: \(\displaystyle{ AM \cdot MC=BM \cdot MD}\).
Można policzyć, że \(\displaystyle{ \left( 2+ \sqrt{3} \right) \cdot \left( 2- \sqrt{3} \right) =1 \cdot 1}\)

[piasek101]

Teraz zauważyłem mój błąd - oznaczyłem sobie cięciwy jako AB i CD - i uważałem, że jest literówka w treści zadania - sorki za zamęt.