Najmniejsza suma długości odcinków.

Sabat · Post autor: **Sabat** » 27 cze 2013, o 14:49

Dane są współrzędne czterech punktów
\(\displaystyle{ A (1.5, 2.5) B (3, 4) C(4, 3) D(3, 2)}\).
Obliczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ P (x, y)}\) tak aby suma odcinków \(\displaystyle{ |AP|+|BP|+|CP|+|DP|}\) była najmniejsza.

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 27 cze 2013, o 16:07

No, wyznacz wzór na sumę. Będzie to funkcja dwóch zmiennych. I szukamy ekstremum.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 27 cze 2013, o 16:45

robertm19, możemy tak zrobić, ale wątpię czy to coś da, bo będzie bardzo ciężko policzyć miejsce zerowe pochodnej. W takich zadaniach często trzeba poszukać czegoś chytrego, jakiejś symetrii albo czegoś. Pomyślę jeszcze.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 27 cze 2013, o 16:59

Punkty są wierzchołkami pewnego czworokąta wypukłego*. Weź jakieś \(\displaystyle{ P}\) i zastosuj nierówność trójkąta do \(\displaystyle{ ACP}\) oraz \(\displaystyle{ BDP}\).

*A co by było, gdyby nie były?

ucwmiu · Post autor: **ucwmiu** » 2 lip 2013, o 13:36

Ten punkt leży na przecięciu przekątnych czworokąta ABCD i uś (wynika to z nierówności trójkąta)