Witam wszystkich forumowiczów.Ostatni raz na lekcji matematyki czy geometrii byłem około 25 lat temu, wiec pojawiły się jedne z pierwszych problemów związanych z matematyką.Chciałbym w arkusz Excela wpisać wzór który będzie automatycznie obliczał cięciwę.Z Excelem nie mam problemu ,ale z napisaniem wzoru wielki problem, więc chciałbym prosić was o pomoc.Oto lin do mojego zadania
Znam tylko dwie wartości promień okręgu i długość łuku , a chciałbym poznać wartość odcinka AB czyli cięciwy . Pozdrawiam z góry dziękuję za pomoc
Promień i łuk
-
stojekl
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 2 cze 2013, o 18:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 17 razy
Promień i łuk
Twój okrąg umieszczony w środku układu współrzędnych ma równanie: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2}\)
Umieśćmy punkty A,B tak że \(\displaystyle{ A=(R, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ B=(x_B, y_B)}\).
Prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) i \(\displaystyle{ B}\) odcina na okręgu żądaną długość łuku \(\displaystyle{ l}\).
Zastanówmy się pod jakim kątem w stosunku do osi OX przebiega ta prosta - skoro kąt \(\displaystyle{ 2\pi}\) odcina na okręgu łuk o długości \(\displaystyle{ 2\pi R}\), to łuk długości \(\displaystyle{ l}\) jest odcięty przez kąt:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi \cdot l}{2 \pi \cdot R}=\frac{l}{R}}\), więc współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi: \(\displaystyle{ a= \tan \frac{l}{R}}\).
Współrzędne punktu B otrzymasz więc z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= a x \\ x^2+y^2=R^2 \end{cases}}\)
tj. przecięcia się okręgu z prostą. Jak pewnie się domyślasz są dwa takie punkty i powinieneś otrzymać dwa rozwiązania.
Mając współrzędne A i B korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ C = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}}\)
Edycja:
Szybszy sposób;
Kiedy już masz kąt liczysz \(\displaystyle{ C}\) z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ C^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos \alpha}\)
Umieśćmy punkty A,B tak że \(\displaystyle{ A=(R, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ B=(x_B, y_B)}\).
Prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) i \(\displaystyle{ B}\) odcina na okręgu żądaną długość łuku \(\displaystyle{ l}\).
Zastanówmy się pod jakim kątem w stosunku do osi OX przebiega ta prosta - skoro kąt \(\displaystyle{ 2\pi}\) odcina na okręgu łuk o długości \(\displaystyle{ 2\pi R}\), to łuk długości \(\displaystyle{ l}\) jest odcięty przez kąt:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi \cdot l}{2 \pi \cdot R}=\frac{l}{R}}\), więc współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi: \(\displaystyle{ a= \tan \frac{l}{R}}\).
Współrzędne punktu B otrzymasz więc z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= a x \\ x^2+y^2=R^2 \end{cases}}\)
tj. przecięcia się okręgu z prostą. Jak pewnie się domyślasz są dwa takie punkty i powinieneś otrzymać dwa rozwiązania.
Mając współrzędne A i B korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ C = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}}\)
Edycja:
Szybszy sposób;
Kiedy już masz kąt liczysz \(\displaystyle{ C}\) z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ C^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos \alpha}\)
-
henryk pawlowski
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 25 cze 2012, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 27 razy
Promień i łuk
Można prościej... . Zrzutuj środek O danego okręgu na cięciwę AB. Punkt ten ,oznacz przez C, jest środkiem tej cięciwy. W trójkącie prostokątnym COB obliczysz CB= R sinx , gdzie x to połowa kąta środkowego AOB , którego miarę wyraża stosunek danego łuku do promienia R ,zaś AB to 2CB. Koniec!