Styczne fragmenty pierścienia.

[Rexus]

Problem nasunął mi się podczas projektowania pierścienia który ma być wycięty z blachy.
Ze względu na oszczędność materiału postanowiłem podzielić pierścień na 2 lub 4 równych części.
Próbowałem wyprowadzić wzór na wymiary najmniejszego prostokąta, w którym zmieszczą się wszystkie części pierścienia, przy n podziałach i danym R i r pierścienia. Fragmenty pierścienia układamy tak żeby środki znajdowały sie na jednej prostej (łuk o promieniu r z I cześci styczny z promieniem R z II częsci itd.). Nie wiem czy dobrze opisałem problem, jeśli będzie taka potrzeba dodam rysunek. Ma ktoś pomysł?

P.S.
Ciekaw jestem również jak będzie wyglądała granica funkcji na pole takiego prostokątna przy n \(\displaystyle{ \rightarrow \infty}\). Wydaje mi sie że powinna zmierzać do pola tego pierścienia.

[octahedron]

Szerokość:

\(\displaystyle{ w=2R\sin\frac{180^o}{n}}\)

Długość:

\(\displaystyle{ l=R+(n-1)\left[\sqrt{R^2-\left(2r\sin\frac{180^o}{n}\right)^2}-r\cos\frac{180^o}{n}\right]}\)

[Rexus]

Podstawiłem dla n=4 R=60 i r=50 pod pierwiastkiem wyszła liczba ujemna więc cos z tym wzorem jest nie tak.

-- 25 cze 2013, o 08:28 --

Moim zdaniem poprawny wzór na długość to:

\(\displaystyle{ l=R+\left( n-1 \right) \left[ \sqrt{R ^{2}-\left( rsin \frac{180 ^{o}}{n} \right)^{2}} - r cos\frac{180 ^{o}}{n}\right] - r cos\frac{180 ^{o}}{n}}\)

[octahedron]

Zgadza się, tak powinno być.