Pole wycinka okręgu

[agus221]

Jak obliczyć pole wycinka koła, które pokrywa się z częścią kwadratu? Albo pole tego kwadratu?
Rysunek:
Średnica okręgu równa jest boku kwadratu = 2r
wierzchołek kwadratu NIE jest środkiem okręgu

[Wiesiek7]

Za mało danych, żeby to wyliczyć.

[wujomaro]

Pole wycinka koła możesz policzyć, w końcu masz promień i kąt(prosty). Ale nie mamy żadnych informacji o tym kwadracie.
Pozdrawiam!

[agus221]

no jest, bok kwadratu to 2r, czyli wszystko wiadomo o tym kwadracie.

[wujomaro]

Fakt, nie doczytałem treści. Czyli wszystko można zrobić, ale rysunek masz bardzo niedokładny.
Pozdrawiam!

[kruszewski]

Za mało danych, żeby to wyliczyć.

Imiennik ma rację.

[wujomaro]

kruszewski, racja, ślepy jestem...

wierzchołek kwadratu NIE jest środkiem okręgu

[kruszewski]

kruszewski, racja, ślepy jestem...

Kolego "wujomaro",nie za ostra ta samokrytyka?

[agus221]

nie jest za mało danych :/

kiedy odległość od środka okręgu do wierzchołka kwadratu (\(\displaystyle{ x}\)) jest mniejsza od r, a dokładniej:
\(\displaystyle{ 0<x<r}\)
to
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{4} \pi (r-x) ^{2}}\)
pytanie co w przeciwnym wypadku, gdy \(\displaystyle{ x>r}\) ? wtedy ten wzór nie jest dobry..

[kruszewski]

Czy mogę poprosić o rysunek z zaznaczeniem położenia koła względem kwadratu?
W.Kr.
PS. Mówimy tu o okręgu jako linii czy kole jako powierzchni?

[agus221]

chodzi właśnie o to, żeby wyprowadzić wzór który będzie dobry dla każdego położenia koła względem kwadratu.
to koło się przemieszcza do przodu
prawdopodobnie trzeba policzyć do pole z całki , tylko nie bardzo wiem jak się za to zabrać..
boki kwadratu mogą być osiami, do tego mamy równanie okręgu.. ale odkąd dokąd by miała być ta całka?

[kruszewski]

nie jest za mało danych :/

kiedy odległość od środka okręgu do wierzchołka kwadratu (\(\displaystyle{ x}\)) jest mniejsza od r, a dokładniej:
\(\displaystyle{ 0<x<r}\)
to
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{4} \pi (r-x) ^{2}}\)
pytanie co w przeciwnym wypadku, gdy \(\displaystyle{ x>r}\) ? wtedy ten wzór nie jest dobry..

Ten wzór jest niepoprawny dla każdego przypadku po za tym, kiedy \(\displaystyle{ x=0}\)
W.Kr.

-- 8 cze 2013, o 02:40 --

chodzi właśnie o to, żeby wyprowadzić wzór który będzie dobry dla każdego położenia koła względem kwadratu.

Nie dla każdego. Bo wtedy jest brak dodatkowych informacji o wzajemnym położeniu figur, co pokazałem na obrazku.
W dołączonym w ostatnim liście Koleżanki rysunku jest informacja której poprzednio brakowało, że przekątna kwadratu przynależy do prostej do której przynależy środek koła. Ten warunek ogranicza rozwiązanie do wąskiego zagadnienia , a nawet umożliwia je, choć nie uogólnia na wszystkie możliwe położenia wzajemne.

to koło się przemieszcza do przodu
prawdopodobnie trzeba policzyć do pole z całki , tylko nie bardzo wiem jak się za to zabrać..
boki kwadratu mogą być osiami, do tego mamy równanie okręgu.. ale odkąd dokąd by miała być ta całka?

Mam wrażenie, że problem jest do rozwiązania metodami geometrii elementarnej.
W.Kr.-- 9 cze 2013, o 01:08 --Rysunek i oznaczenia poniżej.
Dziedziny:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le r \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ y=r \cdot sin \alpha \ , \
x= r \cdot (cos \alpha -sin \alpha )}\)
Pole trójkąta \(\displaystyle{ AOB= \frac{1}{2} x \cdot y}\)
Pole wycinka koła \(\displaystyle{ AOC= \frac{ \alpha }{2 \pi } \cdot \pi r ^{2} = \frac{1}{2} \alpha \cdot r ^{2}}\)
Pole figury \(\displaystyle{ ABC = \frac{1}{2} \alpha r ^{2} - \frac{1}{2}r \cdot (cos \alpha -sin \alpha ) \cdot r \cdot sin \alpha = \frac{1}{2}r ^{2} [ \alpha -sin \alpha (cos \alpha -sin \alpha )]}\)

W.Kr.