W prostokącie opisano okrąg.

[margarita]

Na prostokącie opisano okrąg o promieniu długości R. Obliczyć sumę kwadratów odległości dowolnego punktu tego okręgu od wszystkich prostych, w których zawierają się boki prostokąta.


Odpowiedź to \(\displaystyle{ 4R^{2}}\)

[papus]

Oznaczmy sobie ten punkt który należy do okręgu jako \(\displaystyle{ Q = \left( x ; y\right)}\).

Jeżeli należy on do okręgu to \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} = R ^{2}}\).

Prostokąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ ABCD}\) gdzie

\(\displaystyle{ A = \left(a ; b \right)}\)

\(\displaystyle{ B= \left(-a ; b \right)}\)

\(\displaystyle{ C=\left( -a ; -b\right)}\)

\(\displaystyle{ D =\left( a ; -b\right)}\).

Proste zawierające boki to

\(\displaystyle{ x = a}\)

\(\displaystyle{ x = -a}\)

\(\displaystyle{ y = b}\)

\(\displaystyle{ y = -b}\).

Skoro na prostokącie opisano okrąg to wierzchołki \(\displaystyle{ ABCD}\) należą do okręgu więc \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = R^2}\).

Wtedy odległości tego punktu \(\displaystyle{ Q}\) od prostych można zapisać jako \(\displaystyle{ |x + a| ; |x - a| ; |y + b| ; |y - b|}\).

Teraz zapisz sumę kwadratów tych odległości wykorzystując fakt że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2}\) oraz \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = R^2}\).

[bakala12]

Można to szybko porachować trzy razy z Pitagorasa. Myślę, że to szybszy sposób.
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem okręgu a \(\displaystyle{ ABCD}\) prostokątem. Niech \(\displaystyle{ d\left( P,a\right)}\) oznacza odległość punktu P od odcinka o długości a. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ d\left( P,AB\right) ^{2} +d\left( P,BC\right) ^{2}+d\left( P,CD\right) ^{2}+d\left( P,DA\right) ^{2}= \left| PA\right| ^{2}+\left| PC\right| ^{2} = \left| AC\right| ^{2}=4R ^{2}}\)
Bo oczywiście kąt \(\displaystyle{ \angle APC}\) ma 90 stopni