trójkąt równoramienny

[Vixy]

W trójkącie równoramiennym ostrokątnym ABC mamy dane \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=b}\) oraz kat ACB=\(\displaystyle{ \alpha}\) .Z wierzchołka kata B przez srodek okregu opisanego na tym trojkacie poprowadzono prosta przecinajaca bok AC w punkcie D. Oblicz dlugosc odcinka BD.


wpadł juz na pomysl rozwiazania tego zadania jednak cos nie zgadza sie z odpowiedzia , napisze roozwiazanie:

zauwazyłam ze jesli przejdzie przez srodek okregu ta prosta to ona bedzie styczna do okregu i powstana dwa trójkaty prostokatne DCB oraz DAB.

\(\displaystyle{ |DC|=x}\)
\(\displaystyle{ |DA|=y}\)

\(\displaystyle{ x+y=b}\)
\(\displaystyle{ y=b-x}\)

obliczam dlugosc AB wyszlo mi \(\displaystyle{ 2bsin\frac{\alpha}{2}}\)

korzystam teraz z dwóch twierdzen pitagorasa

\(\displaystyle{ |DE|=y}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ y^2=b^2-x^2}\)

\(\displaystyle{ y^2+(b-x)^2=4b^2sin^\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ b^2-x^2+b^2-2bx+x^2=4b^2sin^2\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2b^2-2bx=4b^2sin^\frac{\alpha}{2}}\)
z tego \(\displaystyle{ x=b(1-2sin^2\frac{\alpha}{2}}\)

teraz z tw.pitagorasa licze y

\(\displaystyle{ b^2(1-2sin^2\frac{\alpha}{2}+y^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ y=b\sqrt{2(1-cos\alpha}}\)


gdzie popełniłam błąd ?

[baksio]

Jak, Ci powstaną te trójkąty prostokątne? ja tego nie widzę.
Osobiście bym to zrobił tak:
Niech:
\(\displaystyle{ |BD|=x}\)
Ten odcinek podzielił nam ten trójkąt na dwa trójkąty. Teraz wyznaczasz kąty w trójkącie BDC
kąt DBC =\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\)
kąt BDC =\(\displaystyle{ 180-\frac{3\alpha}{2}}\)
z tw. sinusów
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin\alpha}=\frac{b}{sin(180-\frac{3\alpha}{2})}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{bsin\alpha}{sin\frac{3}{2}\alpha}}\)

[eagle86]

Hmm jest to zadanie z Operona ZZ 2007, tam podali kat ostry 30 stopni i ramiona maja po 12 cm Reszta taka sama. Ale podobnie jak innni mam z tym zadaniem problem.Cos mi sie miesza ;-/ rozbilem wszystkie katy tak jak trzeba (wsazowka w ksiazce mowi ze trzeba twierdzenie sinusow i niby ten odcinek BP to 2 R glupota bo mozna tak zrobic tylko dla prostokatnego.

[Vixy]

to zadanie jest kiełbasy , korzystam z operonu ale z tego z 2006